[논문 리뷰] Local law and complete eigenvector delocalization for supercritical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs.

Yukun He, Antti Knowles외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 28.

Random Matrices and Applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초임계적 Erdős-Rényi 무작위 그래프의 인접행렬에 대해 임계 척도 $pN = C\log N$까지 내림차순으로 국소 법칙과 완전한 고유벡터 분산화를 확립한다. 저자들은 희박한 무작위 벡터에 대한 다항식 대칭 분포 추정치의 새로운 가족을 도입하여 $\ell^2$ 및 $\ell^\infty$ 노름 사이의 균형을 조정하고 조합적 인자들을 포함함으로써, 매우 희박한 영역에서 국소 법칙과 고유벡터 분산화를 증명하는 데 필수적인 강력한 농도 경계를 가능하게 한다. 이는 이전 결과가 $pN \gtrsim (\log N)^6$ 를 요구했던 것을 고려할 때의 확장이다. 핵심 기여는 임계 연결 임계점까지 첫 번째 국소 법칙과 완전한 분산화 결과를 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

We prove a local law for the adjacency matrix of the Erd\H{o}s-R\'enyi graph $G(N, p)$ in the supercritical regime $ pN \geq C\log N$ where $G(N,p)$ has with high probability no isolated vertices. In the same regime, we also prove the complete delocalization of the eigenvectors. Both results are false in the complementary subcritical regime. Our result improves the corresponding results from [11] by extending them all the way down to the critical scale $pN = O(\log N)$. A key ingredient of our proof is a new family of multilinear large deviation estimates for sparse random vectors, which carefully balance mixed $\ell^2$ and $\ell^\infty$ norms of the coefficients with combinatorial factors, allowing us to prove strong enough concentration down to the critical scale $pN = O(\log N)$. These estimates are of independent interest and we expect them to be more generally useful in the analysis of very sparse random matrices.

연구 동기 및 목표

• 초임계적 영역 $pN \geq C\log N$에서 Erdős-Rényi 무작위 그래프 $G(N,p)$의 인접행렬에 대한 국소 법칙을 확립하여, 이전 결과가 요구했던 $pN \gtrsim (\log N)^6$ 조건을 초월한다.
• 완전한 고유벡터 분산화를 증명하여, 고유벡터의 무한노름이 $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$임을 고확률적으로 보장하며, 이는 임계 척도 $pN = C\log N$까지 확장된다.
• 희박한 무작위 벡터에 대한 다항식 대칭 분포 추정치의 새로운 가족을 개발하여, 계수의 $\ell^2$ 및 $\ell^\infty$ 노름 사이의 최적 균형을 조정하고 조합적 인자들을 포함함으로써 매우 희박한 영역에서의 농도 경계를 가능하게 한다.
• 국소 법칙과 고유벡터 분산화가 하위임계적 영역 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$에서 실패하는 이유를 밝혀내며, 고립된 정점들이 국소화된 고유벡터와 매크로스코픽 수준의 영 eigenvalue를 유도함을 보여준다.

제안 방법

• Schur 보조정리 공식을 사용하여, $A$가 $G(N,p)$의 스케일링된 인접행렬일 때, 그린 함수 $G(z) = (A - z)^{-1}$에 대한 자기일관성 방정식을 유도한다.
• 스펙트럼 척도 $\eta$에서 부트스트랩 추론을 사용하여, 더 큰 척도에서부터 더 작은 척도 $\eta \sim N^{-1}$까지 국소 법칙 추정치를 전파한다.
• 희박한 무작위 벡터에 대한 다항식 대칭 분포 추정치의 새로운 가족을 도입하여, 계수 $a_{ij}$의 혼합 $\ell^2$ 및 $\ell^\infty$ 노름에 따라 $\sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j$ 형태의 표현식을 제어하며, $pN$에 대한 명시적 의존성을 포함한다.
• Chebyshev 부등식을 사용하여 오차 확률을 제어하기 위해 $r = \log N$를 적용함으로써, 고확률 문장에 필요한 임의의 고정된 $D > 0$에 대해 $N^{-D}$ 오차 경계를 달성한다.
• 그린 함수의 $N^2$ 개의 요소들에 대한 유니언 바운드와 함께 대칭 분포 추정치를 적용하여, 최대 편차 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)|$를 제어한다.
• 스케일에 따라 달라지는 오차 항인 $\zeta$에 대해 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$가 고확률적으로 성립함을 보여 국소 법칙을 확립한다. 여기서 $\zeta$는 $\eta$, $pN$, $N$에 따라 달라지는 척도 의존 오차 항이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Erdős-Rényi 그래프의 인접행렬에 대해 임계 척도 $pN = C\log N$까지 국소 법칙을 확립할 수 있는가?
• RQ2 임계 임계점 $pN = C\log N$에서 초임계적 Erdős-Rényi 그래프에서 완전한 고유벡터 분산화, 즉 $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$ 가 성립하는가?
• RQ3 표준 추정치가 실패하는 매우 희박한 영역 $pN = O(\log N)$를 다룰 수 있도록 희박한 무작위 벡터에 대한 대칭 분포 추정치를 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ4 왜 국소 법칙과 고유벡터 분산화가 하위임계적 영역 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$에서 실패하는가?
• RQ5 국소 법칙 오차 경계의 희박성 매개변수 $pN$에 대한 최적 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• 스케일링된 인접행렬 $A$에 대해 국소 법칙이 임계 척도 $pN = C\log N$까지 성립하며, $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$가 고확률적으로 모든 $\eta \gg N^{-1}$ 에 대해 성립한다. 여기서 $\zeta$는 $\eta$, $pN$, $N$에 따라 달라지는 척도 의존 오차 항이다.
• 완전한 고유벡터 분산화가 증명되었다: 초임계적 영역 $pN \geq C\log N$에서 고확률적으로 $\max_i \|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$ 이다.
• 하위임계적 영역 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$에서 국소 법칙과 고유벡터 분산화가 실패한다. 이는 고립된 정점들이 국소화된 고유벡터 $\|u_i\|_\infty = 1$ 와 매크로스코픽 수준의 영 eigenvalue 를 유도하기 때문이다.
• 저자들은 희박한 무작위 벡터에 대한 다항식 대칭 분포 추정치의 새로운 가족을 구축하였으며, 이는 $\left\| \sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j \right\|_r$ 를 $\gamma = \left( \max_i \frac{1}{N} \sum_j |a_{ij}|^2 \right)^{1/2}$ 와 $\psi = \max_{i,j} \frac{|a_{ij}|}{\sqrt{pN}}$ 에 따라 제어함으로써, $pN$에 대해 최적의 의존성을 $O(\log N)$ 까지 확보한다.
• 대칭 분포 추정치에 $r = \log N$를 적용하고 $N^2$ 개의 요소에 대한 유니언 바운드를 사용함으로써, 고확률 경계에서 오차 확률이 $N^{-D}$ (임의의 고정된 $D > 0$) 가 되도록 한다.
• 결과는 최적임을 보이며, $pN \geq C\log N$ 조건을 더 이상 개선할 수 없다. 왜냐하면 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ 일 때 국소 법칙과 분산화가 실패하기 때문이다.