[논문 리뷰] Local Lipschitz continuity in the initial value and strong completeness for nonlinear stochastic differential equations

Sonja Cox, Martin Hutzenthaler외 1명|Zenodo (CERN European Organization for Nuclear Research)|2013. 09. 22.

Stochastic processes and financial applications인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비선형 확률미분방정식(SDE)의 비드리프 및 확산 계수에 대해 강한 $L^p$-의미에서 초기값에 대한 국소 리만-컨티뉴이티를 보장하는 충분조건을 설정한다. 논문은 리만-컨티뉴이티 상수에 대한 명시적이고 계산 가능한 경계를 제공하고, 이를 통해 다양한 SDE들, 특히 스토케스틱 반데르폴 진동자, 케인-힐리아르드-쿠크 방정식, 스토케스틱 버거스 방정식에 대해 강한 완전성(Strong completeness)을 증명한다.

ABSTRACT

Recently, Hairer et. al (2012) showed that there exist SDEs with infinitely often differentiable and globally bounded coefficient functions whose solutions fail to be locally Lipschitz continuous in the strong L^p-sense with respect to the initial value for every p \in [1,\infty). In this article we provide sufficient conditions on the coefficient functions of the SDE and on p \in (0,\infty] which ensure local Lipschitz continuity in the strong L^p-sense with respect to the initial value and we establish explicit estimates for the local Lipschitz continuity constants. In particular, we prove local Lipschitz continuity in the initial value for several nonlinear SDEs from the literature such as the stochastic van der Pol oscillator, Brownian dynamics, the Cox-Ingersoll-Ross processes and the Cahn-Hilliard-Cook equation. As an application of our estimates, we obtain strong completeness for several nonlinear SDEs.

연구 동기 및 목표

• 비선형 SDE의 초기값에 대한 강한 $L^p$-의미에서 국소 리만-컨티뉴이티를 보장하는 데 필요한 드리프트 및 확산 계수의 충분조건을 규명하는 것.
• 해의 맵핑에 대한 국소 리만-컨티뉴이티 상수의 명시적이고 계산 가능한 상한을 유도하는 것.
• 글로벌 단조성 조건을 만족하지 못하는 비선형 SDE 및 SPDE의 광범위한 클래스에 대해 강한 완전성을 확립하는 것.
• 수학적 물리학 및 금융 분야의 모델을 포함한 일반적인 스토케스틱 상미분방정식과 스토케스틱 편미분방정식에 모두 분석을 확장하는 것.
• 리아파노프 유형 함수와 확장된 생성자 기반의 일반적 프레임워크를 제공하여 초기값에 대한 안정성과 정규성 분석을 수행하는 것.

제안 방법

• 다른 초기값에서 시작하는 두 해의 경로 간 차이의 역학을 분석하기 위해 확장된 생성자와 노이즈 연산자 프레임워크를 활용한다.
• 차이 과정 $X_t^x - X_t^y$의 $L^p$-노름 성장률을 제어하기 위해 리아파노프 유형 함수 $V$를 적용한다.
• 모멘트 추정과 콜모고로프-천초프 연속성 기준을 통해 해의 지수적 적분 가능성 경계를 도출한다.
• 경로 기반 및 모멘트 기반 정규성을 제어하기 위해 두 단계의 안정성 분석(부분적 및 균일한 강한 안정성)을 실시한다.
• 경로 연속성과 모멘트 경계를 확립하기 위해 일반화된 콜모고로프-천초프 정리를 적용한다.
• 갈레르킨 근사와 수렴 추론을 활용하여 유한차원에서 무한차원 SPDE로 결과를 확장한다. 이는 케인-힐리아르드-쿠크 방정식 및 스토케스틱 웨이브 방정식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 및 확산 계수에 어떤 조건이 성립할 경우, $p \in (0, \infty]$에 대해 해의 맵핑 $x \mapsto X_t^x$가 강한 $L^p$-의미에서 국소 리만-컨티뉴이티를 갖는가?
• RQ2 해의 맵핑에 대한 국소 리만-컨티뉴이티 상수에 대해 $L^p$-노름에서 명시적이고 계산 가능한 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 글로벌 단조성 또는 글로벌 리만-컨티뉴이티 조건을 만족하지 못하는 비선형 SDE 및 SPDE에 대해 강한 완전성을 보장하는가?
• RQ4 리아파노프 유형 함수와 확장된 생성자를 어떻게 활용하여 두 해의 경로 간 차이의 $L^p$-노름을 제어할 수 있는가?
• RQ5 결과를 케인-힐리아르드-쿠크 방정식 및 스토케스틱 버거스 방정식과 같은 SPDE로 얼마나 넓게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mu$ 및 $\sigma$에 대해 약한 조건이 성립할 경우, 모든 $t, p \in (0, \infty)$에 대해 해의 맵핑 $x \mapsto X_t^x$에 대해 국소 $L^p$-리만-컨티뉴이티를 확립하며, 리만-컨티뉴이티 상수에 대한 명시적 경계를 제공한다.
• 스토케스틱 반데르폴 진동자, 케인-힐리아르드-쿠크 방정식, 스토케스틱 버거스 방정식에 대해 저자들은 초기값에 대한 국소 $L^p$-리만-컨티뉴이티를 보여주는 명시적 추정치를 도출한다.
• 경계 $\|X_t^x - X_t^y\|_{L^p} \leq \varphi_{t,p}(x,y) \|x - y\|$는 $\varphi_{t,p}(x,y)$가 명시적으로 계산 가능함을 보장하며, 케인-힐리아르드-쿠크 방정식의 경우 경계는 $\kappa(r_q)$, $|D|$, 및 $\varsigma^2$에 의존한다.
• 스토케스틱 데프링-반데르폴 진동자 및 스토케스틱 SIR 모델을 포함한 여러 비선형 SDE에 대해 강한 완전성이 증명되었으며, 이는 필요한 모멘트 및 경로 기반 정규성 조건을 검증함으로써 이루어졌다.
• 트레이스-클래스 노이즈를 갖는 케인-힐리아르드-쿠크 방정식에 대해, $\left\| \sup_{t \in [0,T]} \|X_t^{x,n} - X_t^{y,n}\|_H \right\|_{L^r} \leq \frac{\|x-y\|_H}{\sqrt{1 - 2/p}} \exp(\cdots)$ 형태의 경계를 도출하였으며, 이 경계는 $T$, $\eta$, $\varsigma^2$, 및 $U(x) + U(y)$에 명시적으로 의존한다.
• 초기 데이터 및 노이즈 연산자에 대한 적절한 정규성 및 지지 조건 하에서, 추가 노이즈를 갖는 SPDE에 대해서도 프레임워크가 적용 가능하다.