[논문 리뷰] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^\mathfrak{t}$ or just before $S^{\mathfrak{t}-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 18.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 정지 시간 S^τ 또는 S^{τ−}에서 정지된 자산 과정에 대한 G-국소마르팅게일 디플레이터의 존재에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 필터 확장 프레임워크를 사용하여 설정한다. 핵심 결과는 이러한 디플레이터가 F-국소마르팅게일 디플레이터의 배수임을 보여주며, 이 배수는 τ의 Azéma 초마르팅게일의 곱분해로부터 유도된다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Azema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Azema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

연구 동기 및 목표

• 정지 자산 과정 S^τ 또는 S^{τ−}가 G-국소마르팅게일 디플레이터를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 디폴트 시간과 국소마르팅게일 디플레이터를 포함하는 필터 확장의 이론적 프레임워크를 수립하는 것.
• G-국소마르팅게일 디플레이터의 구조를 F-국소마르팅게일 디플레이터와 τ의 Azéma 초마르팅게일에 따라 특성화하는 것.
• 시장 정보로부터 이러한 필터 확장 설정의 존재를 추론할 수 있는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 기본 필터링 F와 확장된 필터링 G를 갖는 필터 확장 설정을 사용하며, F는 기본 필터링이고 G는 확장된 필터링이다.
• 정지 시간 τ와 관련된 Azéma 초마르팅게일의 곱분해를 적용한다.
• S^τ와 S^{τ−}에 대한 G-국소마르팅게일 디플레이터를 F-국소마르팅게일 디플레이터와 Azéma 초마르팅게일로부터 유도된 특정 곱인자와의 곱으로 구성한다.
• Azéma 초마르팅게일과 국소마르팅게일 디플레이터의 세부 분석을 통해 이러한 디플레이터의 존재에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 도출한다.
• 필터 확장 이론, 국소마르팅게일 디플레이터, 초마르팅게일 분해의 결과를 활용하여 핵심 정리를 수립한다.
• 관측 가능한 시장 정보로부터 필터 확장 설정을 추론할 수 있는 구축 가능한 방법을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지 과정 S^τ가 G-국소마르팅게일 디플레이터를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 S^{τ−}에 대해 G-국소마르팅게일 디플레이터가 존재할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가? 필요한 필수 조건과 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 G-국소마르팅게일 디플레이터의 구조는 F-국소마르팅게일 디플레이터와 τ의 Azéma 초마르팅게일과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Azéma 초마르팅게일의 곱분해는 G-국소마르팅게일 디플레이터를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시장 정보로부터 적절한 필터 확장 설정의 존재를 어떻게 추론할 수 있는가?

주요 결과

• S^τ 또는 S^{τ−}에 대한 G-국소마르팅게일 디플레이터가 존재하는 것은 Azéma 초마르팅게일과 F-국소마르팅게일 디플레이터에 대한 특정 조건을 만족할 때에만 가능하다.
• G-국소마르팅게일 디플레이터는 F-국소마르팅게일 디플레이터와 τ의 Azéma 초마르팅게일의 곱분해로부터 도출된 곱인자와의 곱으로 명시적으로 구성된다.
• 곱인자는 정지 시간 τ와 관련된 Azéma 초마르팅게일의 반정마르팅게일 분해로부터 자연스럽게 유도된다.
• 개발된 이론적 프레임워크는 관측 가능한 시장 데이터로부터 필터 확장 설정을 추론하는 데 가능하게 한다.
• 결과는 필터 확장 하에서 디폴트 강도 모델에서 국소마르팅게일 디플레이터의 존재를 검증하는 체계적인 방법을 제공한다.
• 분석은 국소마르팅게일 디플레이터, 필터 확장, Azéma 초마르팅게일 간의 상호작용에 대한 새로운 통찰을 이끌어낸다.