[논문 리뷰] Local minima in quantum systems

Chi-Fang Chen, Hsin-Yuan Huang외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 시스템에서 국소 최솟값을 찾는 것이 고전적 컴퓨터에게는 계산적으로 어려운 일임을 입증하지만, 열 기울기 하강 알고리즘을 사용해 양자 컴퓨터에서는 효율적으로 해결할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 국소 최솟값이 기저 상태보다는 더 쉬운 것으로 보이지만, BQP-하드 해밀토니안 하에서는 여전히 고전적 계산이 불가능하다는 것을 증명한 것이다—자연의 냉각 과정을 시뮬레이션하는 데서 나타나는 양자 우월성을 강조한다.

ABSTRACT

Finding ground states of quantum many-body systems is known to be hard for both classical and quantum computers. As a result, when Nature cools a quantum system in a low-temperature thermal bath, the ground state cannot always be found efficiently. Instead, Nature finds a local minimum of the energy. In this work, we study the problem of finding local minima in quantum systems under thermal perturbations. While local minima are much easier to find than ground states, we show that finding a local minimum is computationally hard for classical computers, even when the task is to output a single-qubit observable at any local minimum. In contrast, we prove that a quantum computer can always find a local minimum efficiently using a thermal gradient descent algorithm that mimics the cooling process in Nature. To establish the classical hardness of finding local minima, we consider a family of two-dimensional Hamiltonians such that any problem solvable by polynomial-time quantum algorithms can be reduced to finding ground states of these Hamiltonians. We prove that for such Hamiltonians, all local minima are global minima. Therefore, assuming quantum computation is more powerful than classical computation, finding local minima is classically hard and quantumly easy.

연구 동기 및 목표

• 열 외란 하에서 양자 다체계의 국소 최솟값을 찾는 데 필요한 계산 복잡도를 조사하기 위해.
• 기저 상태보다는 더 쉬운 국소 최솟값이라도 여전히 고전적 계산이 불가능한가를 판단하기 위해.
• 다항 시간 내에 작동하는 양자 알고리즘을 구성함으로써 국소 최솟값 문제를 해결하는 데서 양자 우월성을 확립하기 위해.
• 넓은 범위의 해밀토니안에 대해 모든 국소 최솟값이 전역 최솟값임을 증명함으로써 문제를 BQP-난이도와 연결하기 위해.
• 열 및 국소 유니터리 외란을 사용해 양자 시스템의 국소 최솟값을 물리적으로 의미 있는 정의로 형식화하기 위해.

제안 방법

• 작은 열 및 국소 유니터리 외란 하에서 에너지 기대값을 통해 양자 시스템의 국소 최솟값을 정의하기 위해.
• 자연의 냉각 과정을 모방하는 양자 컴퓨터 상에서 작동하는 열 기울기 하강 알고리즘을 도입하기 위해.
• 낮은 온도의 열 저장소와 결합된 개방 양자 시스템을 모델링하기 위해 열 리드블리안을 사용하기 위해.
• 작은 외란 하에서 열 외란 하의 에너지 기울기가 단조롭다는 것을 증명함으로써 수렴성을 보장하기 위해.
• 특히 저에너지 부분공간에서 고유값과 고유부분공간의 변화를 분석하기 위해 섭동 이론을 적용하기 위해.
• 임의의 BQP 문제를 두 차원 국소 해밀토니안의 기저 상태 문제로 감소시키며, 이 경우 모든 국소 최솟값이 전역 최솟값임을 보여주기 위해.

Figure 1: (a) Energy landscape under local unitary perturbations. For any local Hamiltonian $\bm{H}$ , there will be doubly exponentially many local minima within the $n$ -qubit state space that stems from a large barren plateau. (b) Energy landscape under thermal perturbations. For some local Hamil

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 컴퓨터에게 양자 시스템에서 국소 최솟값을 찾는 것은 계산적으로 어려운가?
• RQ2 물리적으로 의미 있는 알고리즘을 사용해 양자 컴퓨터가 국소 최솟값을 효율적으로 찾을 수 있는가?
• RQ3 모든 국소 최솟값이 전역 최솟값인 해밀토니안이 존재하는가? 그러한 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 열 외란 하에서 에너지 기울기는 어떻게 행동하는가? 그리고 작은 해밀토니안 변화 하에서도 유지될 수 있는가?
• RQ5 국소 최솟값의 계산 난이도와 BQP에서의 양자 우월성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 국소 최솟값 찾기는 고전적으로 어렵다: 국소 최솟값에서 단일 큐비트 관측량을 출력하는 것조차 고전적 컴퓨터에게는 계산적으로 불가능하다.
• 열 기울기 하강을 사용해 국소 최솟값을 찾는 다항 시간 내에 작동하는 양자 알고리즘이 존재하며, 이는 양자 우월성을 입증한다.
• 두 차원 국소 해밀토니안의 일족에 대해 모든 국소 최솟값이 전역 최솟값이며, 기저 상태 문제는 BQP-완전하다.
• 외란 크기가 에너지 갭에 비해 너무 크지 않은 한, 열 외란 하의 에너지 기울기는 작은 외란 하에서도 유지된다.
• 어떤 경우에는 작은 외란이 에너지 기울기를 완전히 파괴할 수 있으며, 이는 기울기 유지가 자동으로 이루어지지 않음을 보여준다.
• 양자 알고리즘의 성공은 수준 분할 하에서 에너지 기울기의 단조성에 의존하며, 이는 섭동 이론과 정규화된 비정상적 근사법을 통해 증명된다.

Figure 3: The degenerate levels of $\bm{H}_{\textnormal{clock}}$ split under perturbations $\bm{H}_{\textnormal{prop}}$ and $\bm{H}_{\textnormal{in}}$ . In particular, the ground state splitting is tracked in blue shades. The careful choice of energy scales ensures that the levels can be identified