[논문 리뷰] Local mixing and invariant measures for horospherical subgroups on abelian covers

Hee Oh, Wenyu Pan|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 55인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 폐쇄된 하이퍼볼릭 3-다양체의 아벨 커버에 대한 프레임 플로우의 국소 혼합 성질을 확립하고, $G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$, $\Gamma_0 < G$가 볼록 코컴팩트이자 자리스키 밀도이며, $\Gamma \triangleleft \Gamma_0$가 $\Gamma_0/\Gamma \cong \mathbb{Z}^d$인 정규부분군인 경우 $\Gamma\backslash G$ 상의 $H$-불변 측도를 분류한다. 핵심 결과는 임계 지수 $\delta$와 $d$차원 체적 성장에 관련된 정규화를 포함한 닫힌 지오데식과 동역학의 점근적 수세기 공식 및 균등 분포이다.

ABSTRACT

Abelian covers of hyperbolic $3$-manifolds are ubiquitous. We prove the local mixing theorem of the frame flow for abelian covers of closed hyperbolic $3$-manifolds. We obtain a classification theorem for measures invariant under the horospherical subgroup. We also describe applications to the prime geodesic theorem as well as to other counting and equidistribution problems. Our results are proved for any abelian cover of a homogeneous space $Γ_0\backslash G$ where $G$ is a rank one simple Lie group and $Γ_0

연구 동기 및 목표

• 폐쇄된 하이퍼볼릭 3-다양체의 아벨 커버에서 강한 혼합성이 무한체적 때문에 실패하나, 프레임 플로우의 국소 혼합 성질을 확립한다.
• Babillot, Ledrappier, Sarig의 결과를 확장하여, 수평 부분군 $H$에 대한 $\Gamma\backslash G$ 상의 $H$-불변 라돈 측도를 분류한다.
• 닫힌 지오데식의 점근적 수세기 공식과 $\Gamma$가 볼록 코컴팩트 격자 $\Gamma_0$의 정규 $\mathbb{Z}^d$-커버인 경우 $\Gamma\backslash G$ 상의 동역학의 균등 분포를 도출한다.
• 결과를 소수 지오데식 정리 및 하이퍼볼릭 기하학과 수론에서의 다른 수세기 및 균등 분포 문제에 적용한다.

제안 방법

• 일반화된 한족 $a_t$에 의한 오른쪽 이동을 통한 재정규화된 측도 가족 $\mu_t$를 정의하고, $\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$로 스케일링한 후의 약한 극한을 분석한다.
• 패트리시아-슐레르 측도와 극한 집합의 기하학을 이용하여 $\Gamma\backslash G$ 상의 극한 라돈 측도 $\mathsf{m}$를 구성하며, 유동을 따라 $e^{\delta t} t^{d/2}$ 비례하는 밀도를 가진다.
• 아와사와 분해 $G = H A^+ K$를 사용하여, 극한 측도 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$를 $A^+K$ 상의 적분으로 표현하며, 여기서 $H$-불변 측도와 극한 집합 상의 $\delta$-차원 하우스도르프 측도를 사용한다.
• 다음 조건을 만족하는 $H\backslash G$ 내의 잘 둥근 가족 $\{B_T\}$의 개념을 도입한다: $\mathcal{M}(B_T) \to \infty$ 이고, $B_{T,\epsilon}^+ \setminus B_{T,\epsilon}^-$ 의 상대 측도는 0으로 수렴하여 균등 분포를 보장한다.
• $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$ 의 성장과 관련하여 원의 $\Gamma$-오빗과 닫힌 지오데식의 수를 연결함으로써, 스펙트럼 갭과 행렬 계수의 감쇠성을 이용해 균등 분포를 증명한다.
• 국소 혼합 성질을 적용하여, 닫힌 지오데식과 그들의 동역학 클래스의 공동 균등 분포를 도출하며, 밀도는 $e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ 비례한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐쇄된 하이퍼볼릭 3-다양체의 아벨 커버에서 무한체적 때문에 강한 혼합성이 실패함에도 불구하고, 프레임 플로우가 국소 혼합 성질을 가지는가?
• RQ2 $\Gamma$가 볼록 코컴팩트 격자 $\Gamma_0$의 정규 $\mathbb{Z}^d$-커버인 경우, 수평 부분군 $H$에 대한 $\Gamma\backslash G$ 상의 $H$-불변 라돈 측도의 구조는 무엇인가?
• RQ3 임계 지수 $\delta$와 랭크 $d$에 명시적인 의존성을 포함한, 이러한 커버에서 길이 $\leq T$인 닫힌 지오데식의 수에 대한 점근적 수세기 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 닫힌 지오데식의 동역학은 컴acts dual 공간 $M^\textsc{c}$ 상에서 어떻게 균등 분포되며, 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 $\mathbb{Z}^d$-커버 하에서 복소평면 상의 원의 $\Gamma$-오빗의 점근적 분포는 무엇이며, 극한 집합의 하우스도르프 측도와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 아벨 커버 $\Gamma\backslash G$ 에서 국소 혼합 성질이 성립하며, 스케일링 함수 $\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$ 와 $\Gamma\backslash G$ 상의 극한 측도 $\mathsf{m}$ 를 포함한다. 여기서 $G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$, $\Gamma_0 < G$는 볼록 코컴팩트이자 자일리스키 밀도이다.
• 닫힌 지오데식의 수 $\#\mathcal{G}_\Gamma(T)$ 는 $\#\mathcal{G}_\Gamma(T) \sim \frac{e^{\delta T}}{(2\pi\sigma)^{2/d} \delta T^{d/2}} \cdot \mathsf{m}^{\operatorname{BMS}}(\psi) \cdot \int_M \xi \, dm$ 를 만족하며, $d$와 $\delta$에 명시적인 의존성을 포함한다.
• 닫힌 지오데식과 그들의 동역학 클래스의 공동 균등 분포가 확립된다: $\Gamma\backslash G/M \times M^\textsc{c}$ 상의 수세기 측도 $\mu_T$ 는 밀도 $\sim e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ 를 가진 곱 측도로 수렴한다.
• 이미지가 원의 공간에서 이산적인 $\Gamma$-오빗을 가진 원 $C_0$ 에 대해, 곡률 $\leq T$ 인 컴acts 집합 $E$ 와의 교차하는 원의 수는 $c \cdot T^\delta / (\log T)^{d/2} \cdot \operatorname{H}^\delta(E)$ 로 성장하며, 여기서 $\operatorname{H}^\delta$ 는 극한 집합의 $\delta$-차원 하우스도르프 측도이다.
• $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$ 는 $H\backslash G$ 상에 잘 정의되고 컴팩트 집합에서 유한하며, $e^{\delta t} t^{d/2}$ 와 극한 집합 상의 $\delta$-하우스도르프 측도를 포함한 명시적 적분 공식을 가진다.
• 가족 $\{B_T\}$ 에 대한 잘 둥근 조건은 $\#\Gamma \cap B_T \sim \mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$ 를 보장하며, $H\backslash G$ 상의 수세기 문제에 대해 정밀한 점근적 공식을 제공한다.