[논문 리뷰] Local P-shtukas and their relation to global G-shtukas

Esmail M. Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 39인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 전역 G-shtuka—시무라 다양체의 함수체 버전—와 국소 P-shtuka 사이의 기초적인 연결 고리를 확립한다. 이는 추가 구조를 가진 p-나누어떨어지는 군의 일반화이다. 이는 전역 G-shtuka의 변형과 그에 관련된 국소 P-shtuka의 변형 사이의 동치성을 보여주는 세르–테이트 유형의 정리(정리)를 증명하며, 유계 국소 P-shtuka에 대한 라포포르트–진 공간을 형식 스킴으로서 국소적으로 형식적으로 유한형으로 구성한다. 이는 향후 연구에서 전역 G-shtuka 모듈리 스택의 균일화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is the first in a sequence of two articles investigating moduli stacks of global G-shtukas, which are function field analogs for Shimura varieties. Here G is a flat affine group scheme of finite type over a smooth projective curve, and global G-shtukas are generalizations of Drinfeld shtukas and analogs of abelian varieties with additional structure. Our moduli stacks generalize various moduli spaces used by different authors to prove instances of the Langlands program over function fields. In the present article we explain the relation between global G-shtukas and local P-shtukas, which are the function field analogs of p-divisible groups with additional structure. We prove the analog of a theorem of Serre and Tate stating the equivalence between the deformations of a global G-shtuka and its associated local P-shtukas. We also investigate local P-shtukas alone and explain their relation with Galois representations through their Tate modules. And if P is a smooth affine group scheme with connected reductive generic fiber we prove the existence of Rapoport--Zink spaces for bounded local P-shtukas as formal schemes locally formally of finite type. In the sequel to this article we use these Rapoport--Zink spaces to uniformize the moduli stacks of global G-shtukas.

연구 동기 및 목표

• 전역 G-shtuka와 국소 P-shtuka 사이의 정밀한 대응 관계를 확립하여, p-나누어떨어지는 군이 p-진 호지 이론에서 수행하는 역할을 일반화한다.
• 전역 G-shtuka의 무한소 변형과 그에 관련된 국소 P-shtuka의 변형 사이의 관계를 규명하는 함수체 버전의 세르–테이트 정리의 함수체 버전을 증명한다.
• 유계 국소 P-shtuka에 대한 라포포르트–진 공간을 형식 스킴으로서 국소적으로 형식적으로 유한형으로 구성함으로써, 고전적 p-진 균일화를 확장한다.
• 전역 G-shtuka 모듈리 스택을 국소 P-shtuka 변형 공간을 사용하여 균일화할 수 있는 프레임워크를 제공함으로써, 함수체 위에서의 랑글랜즈 상호작용을 실현하기 위한 핵심 단계를 마련한다.

제안 방법

• L+Pν-토르스와 프로베니우스-회전된 동형사상 ˆτ: ˆσ∗L → L를 포함하는 튜플 (L+, ˆτ) 형태의 국소 P-shtuka를 도입하여, 드리닐드의 shtuka를 일반화한다.
• NilpAν에 있는 스킴 위의 전역 G-shtuka에 대해 특성 자리 νi에서의 국소 Pνi-shtuka n-튜플을 부여하는 전역-국소 함자를 개발한다.
• 형식 완비화 위에서 전역-국소 대응을 구성하기 위해 일반화된 베유빌–라스지오 접합 보조정리를 적용한다.
• Spf k[[ζ]] 위의 인드-스킴으로서 비유계 라포포르트–진 함수자를 표현 가능하게 하고, 허드지 다각형 제어를 통해 유계 조건을 확립한다.
• ˆσ∗L+와 L+ 사이의 상대적 위치에 대한 축약 조건을 사용하여 유계 국소 P-shtuka를 정의한다.
• 라포포르트–진과 하르틀의 기법을 영감으로 삼아, 유계 라포포르트–진 함수자가 Spf k[[ζ]] 위의 형식 스킴으로서 국소적으로 형식적으로 유한형으로 표현 가능하다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 G-shtuka는 특성 자리에서의 관련 국소 P-shtuka와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 전역 G-shtuka의 변형 이론과 그에 대응하는 국소 P-shtuka의 변형 이론 사이에 세르–테이트 유형의 동치성이 존재하는가?
• RQ3 유계 국소 P-shtuka에 대한 라포포르트–진 공간은 국소적으로 형식적으로 유한형인 형식 스킴으로서 구성될 수 있는가?
• RQ4 타이트 모듈은 국소 P-shtuka와 갈로아 표현 사이의 연결 고리에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 국소 P-shtuka 변형 공간을 사용하여 전역 G-shtuka 모듈리 스택을 어떻게 균일화할 수 있는가?

주요 결과

• 전역 G-shtuka의 변형 함수자와 그에 관련된 국소 Pνi-shtuka n-튜플의 변형 함수자 사이에 동치성이 존재하며, 이는 고전적 세르–테이트 정리를 함수체 설정으로 일반화한다.
• 비유계 라포포르트–진 함수자는 인드-스킴으로 표현 가능하며, 특히 L+Pν-토르스가 자명할 경우 FℓPν b×Fν Spf Fν[[ζ]]와 동형이다.
• 매끄럽고 연결된 리 군의 일반적 섹션을 가진 Pν에 대해, 유계 라포포르트–진 함수자는 Spf k[[ζ]] 위의 형식 스킴으로서 국소적으로 형식적으로 유한형으로 표현 가능하며, 이는 정리 4.18에서 증명되었다.
• 유계 국소 P-shtuka에 대한 라포포르트–진 공간의 구성은 후속 연구에서 전역 G-shtuka 모듈리 스택의 균일화를 위한 핵심 기술적 도구를 제공한다.
• 국소 P-shtuka의 타이트 모듈은 갈로아 표현을 유도하며, 국소 P-shtuka의 기하학과 랑글랜즈 프로그램 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 이 결과들은 전역 G-shtuka 모듈리 스택의 코homology를 통해 함수체 위에서의 랑글랜즈 상호작용를 실현하기 위한 기초를 마련한다.