[논문 리뷰] Local points on P-adically uniformized Shimura varieties

Bruce W. Jordan, Ron Livné외 1명|ArXiv.org|2002. 04. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 균형화 이론과 계급체론을 이용하여 특정 $p$-진으로 균형화된 시무라 다양체가 어떤 국소 체에서 유리점을 가지는지 결정한다. 특히 특정 시무라 곡선에 대해, 그 잭비안이 [PS]의 의미에서 짝수라는 것을 증명하며, 수체 위에서의 열화된 소수와 힐베르트 기호의 분석을 통해 핵심적인 산술적 성질을 확립한다.

ABSTRACT

Using the p-adic uniformization of Shimura varieties we determine, for some of them, over which local fields they have rational points. Using this we show in some new curve cases that the jacobians are even in the sense of Poonen and Stoll.

연구 동기 및 목표

• 특정 $p$-진으로 균형화된 시무라 다양체가 어떤 국소 체에서 유리점을 가지는지 결정하는 것.
• 특히 악성 균형화의 경우를 포함하여 양호한 균형화의 경우를 넘어서 국소 점 이론을 확장하는 것.
• 시무라 곡선의 잭비안의 산술적 성질을 조사하며, 특히 [PS]의 의미에서 짝수인지 여부를 밝히는 것.
• $p$-진 균형화, 계급체론, 그리고 시무라 다양체 위의 유리점 존재성 간의 상호작용을 분석하는 것.
• 힐베르트 기호와 국소 계급체론을 이용하여 열화된 소수(무한 및 유한)의 수가 짝수인 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• $p$-진 균형화 이론과 체레르니크 및 라포포르트–지크의 결과를 이용하여 시무라 다양체의 $p$-진 균형화를 사용하는 것.
• 특정 큼벌티언 대수의 국소 체 위에서의 해법 가능성으로 국소 점 존재 문제를 축소하는 것.
• 국소 체 위에서의 큼벌티언 대수의 분할 행동을 분석하기 위해 계급체론과 힐베르트 기호 $(-1, -\theta)_{v}$ 를 적용하는 것.
• 군 $W \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ 이 곡선 $X$ 에 작용하는 것을 분석하는 것. 여기서 $r$ 은 큼벌티언 대수의 판별식에 포함된 유한 소수의 수이다.
• 고정점에 따라 수정 항이 포함된 린만-허리츠 공식을 이용하여 곡선 $X$ 의 종수와 몫 $X/W$ 의 종수 간의 관계를 설정하는 것.
• 힐베르트 기호의 곱 공식과 종수 이론을 적용하여 열화된 소수의 수가 짝수인 경우를 결정하며, 특히 잔여 특성가 2인 소수와 무한 소수에서의 경우를 중심으로 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 국소 체에서 $p$-진으로 균형화된 시무라 다양체가 유리점을 가지는가?
• RQ2 시무라 곡선의 열화된 무한 및 유한 소수의 수가 짝수인 조건은 무엇인가?
• RQ3 시무라 곡선의 잭비안이 [PS]의 의미에서 짝수인가?
• RQ4 체 $F$ 의 소수에서 큼벌티언 대수 $B(-1, -\theta)$ 의 분할 행동은 열화된 소수의 기수성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 힐베르트 기호 $(-1, -\theta)_v$ 는 국소 점 존재성과 잭비안의 짝수성 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 시무라 다양체 $X$ 의 무한 열화된 소수의 수는 $(-1, -\theta)_{F_{\frak{P}}}=1$ 이면 짝수이며, 이때 $\theta$ 는 소 아이디얼 $\frak{P}^{k_+}$ 의 전부 양의 생성자이다.
• 유한한 관련 열화된 소수의 수는 모든 잔여 특성가 2인 소수 $\frak{Q}$ 에 대해 $(-1, -\theta)_{F_{\frak{Q}}}=1$ 이면 짝수이다.
• $m \equiv 5 \pmod{8}$ 이면 관련 열화된 소수의 수는 짝수이며, 이는 잭비안이 짝수라는 것을 의미한다.
• $m \equiv 1 \pmod{8}$ 이고 $p$ 가 체 $F$ 에서 분열하지 않는 유리소이며 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 이면, 관련 열화된 소수의 수는 홀수이다.
• 큼벌티언 대수의 판별식에 정확히 하나의 유한 소수가 포함되어 있을 때(즉, $r=1$), 곡선 $X$ 의 종수는 열화된 소수의 수가 홀수일 때에만 홀수이며, 열화된 소수의 수가 짝수이면 잭비안은 짝수이다.
• 정리에 따르면 $r \geq 3$ 이면 곡선의 종수 $g(X)$ 는 홀수이며, 따라서 잭비안 $\operatorname{Jac}(X)$ 는 짝수이다. $r=1$ 이면, 2 이상의 소수와 무한 소수에서의 힐베르트 기호의 명시적 분석을 통해 잭비안의 짝수성을 확립한다.