[논문 리뷰] Local Points on Quadratic Twists of X_0(N)

Ekin Özman|ArXiv.org|2009. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 곡선 $X_0(N)$의 이차-twist $X^d(N)$에 대한 $\mathbb{Q}_p$-유리점의 존재에 대해 필요조건과 충분조건을 제시하며, 엘렌버그가 제기한 '모든 국소체에서의 점이 존재하는가'라는 질문을 해결한다. 홀수 소수 $p$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$와 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$에서 동시에 분비되지 않는 조건 하에, 국소점이 존재하는 것은 $N$과 $d$에 대한 특정한 합동 및 분해 조건에 정확히 부합하며, 일부 곡선은 국소점이 전부 존재하지만 전역 유리점이 없으며, 이러한 Hasse 원리의 실패는 Brauer-Manin 장벽에 의해 설명됨을 보여준다.

ABSTRACT

Let X^d(N) be the quadratic twist of the modular curve X_0(N) through the Atkin-Lehner involution w_N and a quadratic extension Q(\sqrt{d})/Q. The points of X^d(N)(Q) are precisely the Q(\sqrt{d})-rational points of X_0(N) that are fixed by σcomposition w_N, where σis the generator of Gal(Q(\sqrt{d})/Q).Ellenberg asked the following question: For which d and N does X^d(N) have rational points over every completion of Q? Given (N,d,p) we give necessary and sufficient conditions for the existence of a Q_p-rational point on X^d(N), whenever p is not simultaneously ramified in Q(\sqrt{d}) and Q(\sqrt{-N}), answering Ellenberg's question for all odd primes p when (N,d)=1. The main theorem yields a population of curves which have local points everywhere but no points over Q; in several cases we show that this obstruction to the Hasse Principle is explained by the Brauer-Manin obstruction.

연구 동기 및 목표

• $\mathbb{Q}$의 모든 완비화에서 $X^d(N)$이 유리점을 가지는지 여부를 규명하는 엘렌버그의 질문에 답하기.
• $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$와 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$에서 동시에 분비되지 않는 소수 $p$에 대해, $X^d(N)$에 $\mathbb{Q}_p$-유리점이 존재하는지의 조건을 특성화하기.
• 모든 국소점이 존재하지만 전역 유리점이 없는 경우를 식별하고, 이러한 Hasse 원리의 실패가 Brauer-Manin 장벽에 의해 설명되는지 여부를 규명하기.
• $\mathbb{Q}$-곡선과 모듈러 곡선의 맥락에서 $X_0(N)$의 이차-twist에 대한 이전 결과를 확장하고 통합하기.

제안 방법

• Atkin-Lehner 변환과 에탈리언 내림을 이용하여 $\mathbb{Q}$ 위에서 $X_0(N)$의 이차-twist $X^d(N)$를 정의한다.
• $X^d(N)$의 $\mathbb{Q}$-유리점들을 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$-유리점 중에서 $\sigma \circ w_N$에 의해 고정되는 점들로 식별한다. 여기서 $\sigma$는 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q})$를 생성한다.
• $p$가 $N$을 나누고 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$에서 비분기일 경우, Hensel의 보조정리를 적용하여 $\mathbb{Q}_p$-점 분석을 수행한다.
• $p$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$에서 분기되고 $p \nmid N$일 경우, 복소 곱셈(CM) 타원곡선 이론을 활용하여 $\mathbb{Q}_p$-점을 구성한다.
• Scharaschkin의 방법과 Magma에서의 계산을 통해 Jacobian의 Mordell-Weil 군을 분석하고 특정 경우에 유리점이 존재하지 않음을 배제한다.
• L-함수의 함수-equation에 대한 Weil 공식을 적용하여, 일부 Jacobian이 단순하고 랭크 0인 비자명한 몫이 없음을 유추하며, Mazur 방식의 적용을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 $d$와 제곱 자유 수 $N$에 대해, 모든 소수 $p$에 대해 $X^d(N)$이 $\mathbb{Q}_p$-유리점을 가지는 경우는 언제인가?
• RQ2 $X^d(N)$이 모든 국소점이 존재하지만 $\mathbb{Q}$ 위에 전역 유리점이 없는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 곡선에서 Hasse 원리의 실패는 Brauer-Manin 장벽에 의해 설명될 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$와 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$에서 $p$의 분기 성질이 국소점 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Jacobian의 Mordell-Weil 군의 구조는 무엇이며, 이는 유리점 존재에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 홀수 소수 $p$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$에서 비분기이고 $N$을 나눌 경우, $X^d(N)$이 $\mathbb{Q}_p$-점을 가질 조건은 $N = p \prod q_i$ 이고 $p \equiv 3 \pmod{4}$, 모든 $q_i \equiv 1 \pmod{4}$ 이거나, 동일한 합동 조건을 만족하는 $N = 2p \prod q_i$ 일 때이다.
• $2$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$에서 비분기이고 $N$을 나눌 경우, $\mathbb{Q}_2$-점이 존재하는 것은 $N = 2 \prod q_i$ 이고 모든 $q_i \equiv 1 \pmod{4}$ 일 때이다.
• 홀수 소수 $p$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$에서 분기되고 $N$을 나누지 않을 경우, $\mathbb{Q}_p$-점이 존재하는 것은 $p$가 제5.5조에서 정의된 특정 유한집합 $S$에 속할 때이다.
• $X^{17}(23)$는 모든 국소점이 존재하지만 $\mathbb{Q}$-유리점이 없으며, 이 Hasse 원리의 실패는 Brauer-Manin 장벽에 의해 설명된다.
• $d \in \{-223, -211, -59, 101, 173\}$에 대해, $X^d(23)$의 Jacobian은 자명한 토르션과 랭크 0을 가지며, 이는 $X^d(23)(\mathbb{Q}) = \emptyset$임을 의미한다.
• $X^{17}(23)$의 Jacobian은 단순하고 랭크 2를 가지며, $q$-전개 계수들이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$에 속하고, 관련된 새로운 형식은 자기 켤레(self-conjugate)이므로 비자명한 등주형 인자(factor)가 존재하지 않음을 확인한다.