[논문 리뷰] Local Rigidity for Cocycles

David Fisher, G. A. Margulis|ArXiv.org|2003. 03. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고계수 단순 대수적 군과 그 격자에 관련된 코사이클에 대한 국소적 강성(local rigidity)을 확립하며, 상수 코사이클의 연속적 또는 $L^\infty$-작은 변형이 소수의 컴팩트 값 코사이클을 제외하고 원래 코사이클과 연속적으로 동치임을 증명한다. 주요 기여는 Zimmer의 코사이클 초강성(theorem)을 측정 가능한 동치에서 연속적 동치로 대체함으로써 소수의 변형 하에서 강화한 것으로, 애파인 및 준애파인 작용에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we study perturbations of constant cocycles for actions of higher rank semi-simple algebraic groups and their lattices. Roughly speaking, for ergodic actions, Zimmer's cocycle superrigidity theorems implies that the perturbed cocycle is measurably conjugate to a constant cocycle modulo a compact valued cocycle. The main point of this article is to see that a cocycle which is a continuous perturbation of a constant cocycle is actually continuously conjugate back to the original constant cocycle modulo a cocycle that is continuous and "small". We give some applications to perturbations of standard actions of higher rank semisimple Lie groups and their lattices. Some of the results proven here are used in our proof of local rigidity for affine and quasi-affine actions of these groups. We also improve and extend the statements and proofs of Zimmer's cocycle superrigidity.

연구 동기 및 목표

• 고계수 단순 대수적 군과 그 격자에 대한 작용에 대해 소수의 변형 하에서 코사이클에 대한 국소적 강성을 확립하기.
• 소수의 변형 하에서 측정 가능한 동치를 연속적 동치로 대체함으로써 Zimmer의 코사이클 초강성 정리들을 강화하기.
• 변형된 코사이클이 컴팩트 값을 갖는 코사이클을 제외하고는 연속적이고 $L^\infty$-작은 동치 지도를 통해 상수 코사이클과 동치임을 증명하기.
• 이 결과들을 이러한 군의 표준적, 애파인 및 준애파인 작용의 변형에 적용하기.
• 코사이클 초강성의 범위를 비-아르키메데스 현지 체와 유한 측도적 확장에까지 확장하면서 그러한 확장으로의 이행이 필요 없도록 하기.

제안 방법

• 연속적 준동형사상 $\pi_0: G \to L$ 또는 $\pi_0: \Gamma \to L$를 통해 상수 코사이클 $\alpha_{\pi_0}$를 정의한다.
• 상수 코사이클 $\alpha_{\pi_0}$에 대해 $L^\infty$-근접한 Borel 코사이클 $\alpha$를 고려하여, 이는 상수 코사이클의 소수의 변형을 나타낸다.
• 측정 가능 동치 지도 $\phi: S \to L$를 구성하여 $\alpha(g,x) = \phi(gx)^{-1} \pi_0(g) z(g,x) \phi(x)$를 만족시키며, $\phi$는 $L^\infty$에서 작다.
• 결과적으로 유도된 코사이클 $z$가 항등 코사이클에 $L^\infty$-근접하고, 항등원 근처의 컴팩트 부분군에 값을 갖는 코사이클과 측정 가능하게 동치임을 보인다.
• 만약 작용과 코사이클이 컴팩트성이 있는 국소적으로 컴팩트 공간 위에서 연속적이라면, $\phi$와 $z$는 연속적으로 선택될 수 있음을 증명한다.
• 결과들을 스케우 프로덕트와 애파인 작용에 적용하기 위해, 작용을 보편 커버로 올리고 군 확장을 통해 관련 코사이클을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고계수 단순 군 작용에 대해 상수 코사이클의 소수의 $L^\infty$-변형은 원래 코사이클로 연속적으로 동치로 복원될 수 있는가?
• RQ2 Zimmer의 코사이클 초강성 정리에서의 측정 가능 동치는 소수의 변형 하에서 얼마나 연속적 동치로 향상될 수 있는가?
• RQ3 코사이클 초강성 정리는 비-아르키메데스 현지 체로 확장될 수 있으며, 그러한 확장으로의 이행이 필요 없이 적용 가능한가?
• RQ4 상수 코사이클 $\pi_0$의 상(image)의 중심화자(centralizer)는 변형된 코사이클과 그 동치의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 컴팩트 정규 부분군은 변형된 코사이클의 동치류에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 상수 코사이클 $\alpha_{\pi_0}$에 대해 $L^\infty$-근접한 코사이클 $\alpha$는 항등 코사이클에 $L^\infty$-근접한 코사이클 $z$를 제외하고는 $\alpha_{\pi_0}$와 연속적으로 동치이다.
• 동치 지도 $\phi$는 $L^\infty$-작고, 작용과 코사이클이 국소적으로 컴팩트 공간 위에서 연속적이고 전체 지지도를 갖는다면 연속적으로 선택될 수 있다.
• 변형된 코사이클 $z$는 항등원 근처에 있는 컴팩트 부분군 $C$에 값을 갖는 코사이클과 측정 가능하게 동치이다.
• 만약 $k$가 아르키메데스 현지 체이면, 컴팩트 값을 갖는 코사이클 $z$는 항등 코사이클과 측정 가능하게 동치이며, 이는 더 강한 강성 구조를 의미한다.
• 결과들은 군 $G$의 격자 $\Gamma < G$로 확장되며, 대수적 군으로의 호모모르피즘 $\pi: \Gamma \to L$의 초강성 성질을 이용한다.
• 이 틀은 애파인 및 준애파인 작용에 적용 가능하며, 이러한 작용에 대한 국소적 강성을 증명하는 데 사용된다.