[논문 리뷰] Local theta-regulators of an algebraic number -- p-adic Conjectures

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 갈루아 확장 K/Q에 속한 대수적 수 η에 대해 국소 θ-레귤레이터 ∆θ_p(η)를 도입하고, 표현 이론을 통해 p-진 레귤레이터와 연결한다. 큰 p에 대해 정규화된 p-진 레귤레이터 Reg^G_p(η)가 p-진 단위이거나 p^ϕ(1)으로 딱 한 번만 나누어지는 것을 추측하며, 이는 확률적 히ュ리스틱과 코homological 증거나를 바탕으로 하며, 큰 p에 대해 수체의 p-유리성(이를테면 p-rationality)을 암시한다.

ABSTRACT

Let K/Q be Galois and let eta in K* be such that the multiplicative Z[G]-module generated by eta is of Z-rank n.We define the local theta-regulators Delta\_p^theta(eta) in F\_p for the Q\_p-irreducible characters theta of G=Gal(K/Q). Let V\_theta be the theta-irreducible representation. A linear representation L^theta=delta.V\_theta is associated withDelta\_p^theta(eta) whose nullity is equivalent to delta$\ge$1 (Theorem 3.9). Each Delta\_p^theta(eta) yields Reg\_p^theta(eta) modulo p in the factorization $\prod$\_theta (Reg\_p^theta(eta))^phi(1) of Reg\_p^G(eta) := Reg\_p(eta)/p^[K : Q] (normalized p-adic regulator), where phi divides theta is absolutely irreducible.From the probability Prob(Delta\_p^theta(eta) = 0 \& L^theta=delta.V\_theta)$\le$p^(-f.delta^2) (f= residue degree of p in the field of values of phi) and the Borel--Cantelli heuristic, we conjecture that, for p large enough, Reg\_p^G(eta) is a p-adic unit or that p^phi(1) divides exactly Reg\_p^G(eta) (existence of a single theta with f=delta=1); this obstruction may be lifted assuming the existence of a binomial probability law (Sec. 7) confirmed through numerical studies (groups C\_3, C\_5, D\_6). This conjecture would imply that, for all p large enough, Fermat quotients of rationals andnormalized p-adic regulators are p-adic units (Theorem 1.1), whence the fact that number fields are p-rational for p extgreater{} extgreater{}0. We recall \S8.7 some deep cohomological results, which may strengthen such conjectures.

연구 동기 및 목표

• 갈루아 확장 K/Q에 속한 대수적 수 η에 대해 F_p에 속하는 국소 θ-레귤레이터 ∆θ_p(η)를 정의하는 것.
• 표현 이론과 갈루아 모듈러 구조를 이용해 p-진 레귤레이터 Reg^G_p(η)를 분석하는 것.
• 확률적 및 코homological 히ュ리스틱에 기반해 큰 p에 대해 Reg^G_p(η)가 p-진 단위이거나 p^ϕ(1)으로 딱 한 번만 나누어지는 것을 추측하는 것.
• 이를 Leopoldt–Jaulent 추측과 수체의 p-유리성에 대한 일반적 추측과 연결하는 것.

제안 방법

• G = Gal(K/Q)의 기약 Q_p-특성 χ에 대해 F_p에 속하는 관측치로 국소 θ-레귤레이터 ∆θ_p(η)를 정의한다.
• δ ≥ 1이 레귤레이터의 영공간의 차원을 측정하는 바, ∆θ_p(η)로부터 선형 표현 L_θ ≃ δ V_θ를 구성한다.
• 정규화된 p-진 레귤레이터를 ∏_θ (Reg^θ_p(η))^{ϕ(1)}로 인수분해하며, 여기서 ϕ | θ는 절대 기약이다.
• 확률 bound p^{−fδ^2} (f = 잔여도수)를 사용해 p-나누기 가능성의 가능성을 추정하기 위해 Borel–Cantelli 히ュ리스틱을 적용한다.
• Heuristic 7.4의 이항 확률 모델을 적용해 Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p일 확률이 O(1/p^{log²p / log c₀(η)})임을 보인다.
• G = C₃, C₅, D₆에 대한 수치적 증거와 Bloch–Kato 및 Voevodsky의 코homological 결과를 통해 추측을 지지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 p-진 레귤레이터 Reg^G_p(η)는 국소 θ-레귤레이터 ∆θ_p(η)로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 Reg^G_p(η)가 p로 나누어지는 조건은 무엇이며, 큰 소수 p에 대해 얼마나 자주 발생하는가?
• RQ3 Borel–Cantelli 히ュ리스틱을 적용해 p | Reg^G_p(η)인 소수 p의 수가 유한한지 예측할 수 있으며, 그 적용에 대한 장애 요소는 무엇인가?
• RQ4 국소 θ-레귤레이터 ∆θ_p(η)는 일반화된 페르마 몫 α_p(η)의 갈루아 모듈러 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 블로흐–카토 및 보에보드스키의 코homological 결과는 T_p가 유한하다는 추측을 어느 정도 지지하는가? 이는 p-유리성으로 이어진다.

주요 결과

• 큰 p에 대해 Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p일 확률은 C∞(η)/p^{log²p / log c₀(η)} − O(1) 이하이며, 여기서 c₀(η) = max_σ |η^σ| 이고, e⁻¹ ≤ C∞(η) ≤ 1 이다.
• Heuristic 7.4와 Borel–Cantelli 원리에 따라, Reg^G_p(η)가 p로 나누어지는 소수 p의 수는 유한하다.
• Borel–Cantelli를 적용하는 데 유일한 장애 요소는 Reg^G_p(η) ∼ p^{ϕ(1)} (단위를 제외한) 경우이며, 이는 확률 최대 O(1/p) 이고, θ-성분에서 δ = f = 1일 때 발생한다.
• G = C₃, C₅, D₆에 대한 수치적 연구는 이항 확률 모델을 확인하고, p-나누기 가능성의 유한성 추측을 지지한다.
• 블로흐–카토 및 보에보드스키의 코homological 결과는 m ≥ 1일 때 H²(G_S(K), Z_p(m))가 유한하다고 암시하며, 이는 T_p가 유한하고 K가 큰 p에 대해 p-유리적임을 지지한다.
• 이 추측은 모든 p ≫ 0에 대해 유리수와 수체의 정규화된 p-진 레귤레이터가 p-진 단위임을 암시하며, 따라서 큰 p에 대해 수체는 p-유리적이다.