[논문 리뷰] Local times for continuous paths of arbitrary regularity

Donghan Kim|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 $p$차 변동성을 가진 연속 함수에 대해 순서 $p$의 연속 경로별 국소시간의 새로운 개념을 도입하여, $C^{(p-2)}$ 함수에 대한 일반화된 이토-타나카 공식을 가능하게 한다. 고차수 탄카-마이어 공식을 유도하고 충돌 국소시간을 사용하여 순서가 매겨진 함수를 분석하며, 분수 Browian 운동 경로에 대한 더 자연스러운 국소시간 정의를 제안한다.

ABSTRACT

We study a continuous pathwise local time of order p for continuous functions with finite p-th variation along a sequence of time partitions, for even integers p >= 2. With this notion, we establish a Tanaka-type change of variable formula, as well as Tanaka-Meyer formulae. We also derive some identities involving this high-order pathwise local time, each of which generalizes a corresponding identity from semimartingale theory. We then use collision local times between multiple functions of arbitrary regularity, to study the dynamics of ranked continuous functions of arbitrary regularity. We present also another definition of pathwise local time which is more natural for fractional Brownian Motions, and give a connection with the previous notion of local time.

연구 동기 및 목표

• 유한한 $p$차 변동성을 가진 연속 함수에 대해 순서 $p$의 경로별 국소시간을 정의하기 위한 분할의 중첩된 수열 $\pi_n$을 통해, $p \geq 2$인 짝수 정수일 때의 경로별 국소시간을 정의한다.
• 이 새로운 국소시간을 사용하여 $C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 함수에 대해 이토-타나카 공식을 일반화하여 고전적 반마르팅게일 결과를 일반화한다.
• 고차수 탄카-마이어 공식과 국소시간을 포함하는 항등식을 도출하여 반마르팅게일 항등식을 일반화한다.
• 경로 간의 충돌 국소시간을 사용하여 유한한 $p$차 변동성을 가진 임의의 정규성의 연속 함수의 순서가 매겨진 함수의 역학을 분석한다.
• 분수 브라운 운동 경로에 대해 더 자연스러운 정의를 제안하는 두 번째 국소시간 정의를 제안하고, 주된 정의와 비교한다.

제안 방법

• 중첩된 분할 수열 $\pi_n$을 따라 경로별 $p$차 변동성을 정의하며, $\lim_{n\to\infty} \text{osc}(S, \pi_n) = 0$ 이고, 이산 측도 $\mu^n$ 이 $\sigma$-유한 측도로 약한 수렴함을 요구한다.
• 차수 $p$의 테일러 전개로부터 유도된 이산 국소시간의 균일한 극한으로 연속 경로별 국소시간 $\mathscr{L}^{p,c}$ 를 정의한다.
• 모래화된 도함수의 이중 극한을 통한 수정된 폴러 적분을 정의하여, 더 적은 정규성의 함수에 대해서도 적분이 가능하도록 한다.
• 일반화된 이토-타나카 공식 유도: $ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $, 이는 $f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 이고 $f^{(p-1)}$ 이 유계변동이고 오른쪽 연속일 때 유효하다.
• 모든 $m$개의 연속 함수 간의 충돌 국소시간을 사용하여, $k$번째 순서가 매겨진 함수 $X_{(k)}$ 를 원래 함수의 적분합, 충돌항, 그리고 거칠기로 인한 교차항의 합으로 표현한다.
• 직업 밀도 공식을 통한 두 번째 국소시간 정의 $\mathscr{L}^{p,c}$ 를 제안하며, 원래 정의보다는 약하지만 분수 브라운 운동 경로에 더 적합하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 $p$차 변동성을 가진 연속 함수에 대해 순서 $p$의 경로별 국소시간을 일관되게 정의할 수 있는가? 여기서 $p \geq 2$는 짝수이다.
• RQ2 이러한 국소시간을 사용하여 이토-타나카 공식을 $C^{(p-2)}$ 함수로 일반화할 수 있으며, 그 유효성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 경로별 국소시간을 포함하는 고차수 항등식은 어떤 것이며, 기존의 반마르팅게일 항등식을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 유한한 $p$차 변동성을 가진 연속 함수의 순서가 매겨진 함수의 역학은 충돌 국소시간을 통해 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 직업 밀도를 통한 새로운 국소시간 정의는 원래 경로별 국소시간과 어떻게 비교되며, 특히 분수 브라운 운동에 대해서는 어떤가?

주요 결과

• 차수 $p$의 테일러 전개로부터 유도된 이산 국소시간의 균일한 극한으로 새로운 경로별 국소시간 $\mathscr{L}^{p,c}$ 가 정의되며, 이는 경로별로 비확률적인 구성임을 보장한다.
• 일반화된 이토-타나카 공식은 $f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 이고 $f^{(p-1)}$ 이 유계변동이며 오른쪽 연속일 때 유효하며, 다음 식으로 표현된다: $ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $.
• 모래화된 도함수의 이중 극한을 통한 수정된 폴러 적분은, 더 적은 정규성의 $f$ 에 대해서도 적분 $\int_0^t f'(S(u)) dS(u)$ 가 잘 정의됨을 보장한다.
• $m$개의 연속 함수가 유한한 $p$차 변동성을 가지며, 그 중 $k$번째 순서가 매겨진 함수 $X_{(k)}$ 의 역학은 원래 함수의 적분합, 충돌 국소시간 항, 그리고 거칠기로 인한 교차항의 합으로 표현된다.
• 직업 밀도 공식을 통한 두 번째 국소시간 정의 $\mathscr{L}^{p,c}$ 가 제안되며, 원래 정의보다는 약하지만 분수 브라운 운동 경로에 더 자연스럽다.
• 두 국소시간 정의를 비교하면, $L^{p,c}$ 는 더 강력한 정의(균일한 극한)이고, $\mathscr{L}^{p,c}$ 는 더 약한 정의(확률적 수렴)이며, 이토-타나카 공식이 성립하기 위해 수정된 폴러 적분이 필요하다.