[논문 리뷰] Local weak convergence and propagation of ergodicity for sparse networks of interacting processes

Daniel Lacker, Kavita Ramanan외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 큰 희박한 그래프 위에서 상호작용하는 입자 시스템의 국소 약한 수렴을 확립하며, 그래프 수렴 하에서 그들의 결합률이 연속적으로 수렴함을 보여준다. 애먼 그래프 위에서 에르고딕성의 전파를 증명하고, 에르도스–레니의 및 구성 모델과 같은 희박한 랜덤 그래프 집합에서 전역 및 구성 요소 수준의 경험 측도에 대해 별개의 한계 행동을 규명한다.

ABSTRACT

We study the limiting behavior of interacting particle systems indexed by large sparse graphs, which evolve either according to a discrete time Markov chain or a diffusion, in which particles interact directly only with their nearest neighbors in the graph. To encode sparsity we work in the framework of local weak convergence of marked (random) graphs. We show that the joint law of the particle system varies continuously with respect to local weak convergence of the underlying graph. In addition, we show that the global empirical measure converges to a non-random limit, whereas for a large class of graph sequences including sparse Erd\{o}s-R\'{e}nyi graphs and configuration models, the empirical measure of the connected component of a uniformly random vertex converges to a random limit. Finally, on a lattice (or more generally an amenable Cayley graph), we show that if the initial configuration of the particle system is a stationary ergodic random field, then so is the configuration of particle trajectories up to any fixed time, a phenomenon we refer to as propagation of ergodicity. Along the way, we develop some general results on local weak convergence of Gibbs measures in the uniqueness regime which appear to be new.

연구 동기 및 목표

• 표본 크기가 큰 희박한 그래프 위에서 상호작용하는 입자 시스템의 한계 행동을 국소 약한 수렴의 개념을 통해 분석한다.
• 기본이 되는 그래프의 국소 약한 수렴 하에서 입자 시스템의 결합률이 연속적임을 확립한다.
• 임의의 정점의 연결된 구성 요소에 대한 전역 경험 측도와 경험 측도의 한계 행동을 규명한다.
• 애먼 카일리 그래프 위에서 초기 구성이 정적 에르고딕 랜덤 필드일 경우, 시간에 따라 에르고딕성이 유지됨을 증명한다.

제안 방법

• 희박한 네트워크 구조를 모델링하기 위해 표식이 부여된 랜덤 그래프의 국소 약한 수렴을 활용하며, 이는 에르도스–레니 및 구성 모델 그래프를 포함한다.
• 결합 및 결합 기반의 추론을 사용하여 그래프 수렴 하에서 입자 시스템의 법칙이 연속적임을 보인다.
• 전역 경험 측도의 극한을 분석하여, 비결정론적 극한으로 수렴함을 입증한다.
• 균일하게 랜덤한 정점의 연결된 구성 요소에 조건을 두고 구성 요소 수준의 경험 측도를 연구하며, 희박한 그래프 수열에서 랜덤한 극한으로 수렴함을 보인다.
• 애먼 카일리 그래프에서 에르고딕성의 전파를 확립하기 위해, 궤적 구성이 시간에 따라 정적이고 에르고딕임을 증명한다.
• 유일성 영역에서 게이블리스 측도의 국소 약한 수렴에 관한 일반적인 결과를 도출하며, 이는 주요 결과를 뒷받침하며 독립적으로도 관심을 끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본이 되는 희박한 그래프의 국소 약한 수렴 하에서 상호작용 입자 시스템의 결합률은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 희박한 그래프 위에서 입자 시스템의 전역 경험 측도의 한계 행동은 무엇인가?
• RQ3 희박한 그래프 수열에서 임의의 정점의 연결된 구성 요소의 경험 측도는 결정론적 극한인지 랜덤한 극한인지 수렴하는가?
• RQ4 애먼 그래프에서 초기 구성이 에르고딕일 경우, 시간이 지남에 따라 에르고딕성이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 유일성 영역에서 국소 약한 수렴 하에서 게이블리스 측도에 대해 어떤 일반적 성질이 도출되는가?

주요 결과

• 기본 그래프의 국소 약한 수렴에 대해 입자 시스템의 결합률은 연속적으로 변한다.
• 대규모 시스템 크기 근처에서 전역 경험 측도는 비결정론적 극한으로 수렴한다.
• 에르도스–레니 및 구성 모델과 같은 희박한 그래프 수열에서, 균일하게 랜덤한 정점의 연결된 구성 요소의 경험 측도는 랜덤한 극한으로 수렴한다.
• 애먼 카일리 그래프에서 초기 구성이 정적 에르고딕 랜덤 필드일 경우, 임의의 고정된 시간까지의 입자 궤적 구성은 시간이 지나도 정적이고 에르고딕임을 유지하며, 이는 에르고딕성의 전파를 보여준다.
• 유일성 영역에서 게이블리스 측도의 국소 약한 수렴에 관한 새로운 일반 결과가 도출되었으며, 이는 독립적으로도 관심을 끈다.