[논문 리뷰] Local Whittaker-Newforms for GSp(4) matching to Langlands parameters

Takeo Okazaki|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $GSp(4)$에 대한 국소적 뉴폼 이론을 확장하여, 일반적이고 기약적이며 순수한 표현의 랭글랜즈 매개변수와 일치하는 표준적인 윌커스터 뉴폼을 구성한다. 이와 동시에 뉴폼의 최소 수준이 해석적 컨덕터 $n_{\tilde{\pi}}$와 같음을 증명하고, 해당 윌커스터 함수가 제타 적분을 통해 표준 $L$-함수와 $\varepsilon$-인자(realizes)를 실현함으로써 표현론적 불변량과 $L$-매개변수 사이의 정밀한 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

We extend the local newform theory of B. Roberts and R. Schmidt for generic, irreducible, admissible representations of PGSp(4) to that for GSp(4). The newform matches to the Langlands parameter.

연구 동기 및 목표

• PGSp(4)에서 $GSp(4)$로 국소적 뉴폼 이론을 확장하여, 랭글랜즈 매개변수와의 호환성을 유지한다.
• 표준 $L$-매개변수 $\phi_{\pi}$와 관련된 해석적 컨덕터 $n_{\pi}$를 통해 윌커스터 뉴폼의 최소 수준을 규명한다.
• 윌커스터 모델 내에서 표준 $L$-함수와 $\varepsilon$-인자를 제타 적분을 통해 실현하는 표준적인 윌커스터 벡터를 구성한다.
• 온도 표현의 경우, 일반성(genericity)이 준표모듈라성(quasi-paramodularity)과 동치임을 증명하여 $PGSp(4)$의 결과를 $GSp(4)$로 일반화한다.

제안 방법

• GSp(4,F)의 열린 컴acts 부분군으로서, 표모듈라 군을 보다 정교화한 준표모듈라 부분군 $\mathbf{K}(m;\mathfrak{e})$와 $\mathbf{K}_1(m;\mathfrak{e})$를 정의한다.
• 표준 $\mathbf{K}_1(m;\mathfrak{e})$-불변 윌커스터 함수의 공간 $V(m)$를 정의하며, 이를 수준 $m$의 준표모듈라 형식이라 한다. 최소 수준 $m_{\pi}$는 $V(m) \neq \{0\}$이 되는 최소의 $m$로 정의한다.
• P_3 표현 이론과 수정된 함수방정식(정리 4.3)을 활용하여 제타 적분과 $L$-함수 및 $\varepsilon$-인자 사이의 관계를 규명한다.
• 제타 적분 항등식 (1.2)와 (1.3)을 만족하는 $V(m_{\pi})$ 내의 비영인 $W$가 반드시 $V(m_{\pi})$를 생성함을 증명함으로써 $m_{\pi} = n_{\pi}$임을 도출한다.
• 초구속적 및 쿠링겐 유도 표현에 대해 $V(m_{\pi})$ 위의 히케 작용을 분석하여 표준 뉴폼의 존재를 확립한다.
• 철 추론과 함수방정식을 활용하여 $L(s,\pi)$와 $L(s,\phi_{\pi})$, $\varepsilon(s,\pi,\psi)$와 $\varepsilon(s,\phi_{\pi},\psi)$를 비교하고, 그들이 동일함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적이고 기약적이며 순수한 표현 $\pi$에 대해 $GSp(4,F)$의 윌커스터 뉴폼의 최소 수준은 무엇이며, 그 랭글랜즈 매개변수 $\phi_{\pi}$의 해석적 컨덕터 $n_{\pi}$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 윌커스터 모델 내에서 표준적인 윌커스터 벡터가 제타 적분을 통해 표준 $L$-함수와 $\varepsilon$-인자를 실현할 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ3 뉴폼의 최소 수준이 해석적 컨덕터 $n_{\pi}$와 같고, 공간 $V(m_{\pi})$가 일차원인가?
• RQ4 온도 표현 $\pi$에 대해 일반성이 준표모듈라성과 동치인가? 그 역도 성립하는가?
• RQ5 $\pi$의 $L$-함수와 $\varepsilon$-인자가 그 랭글랜즈 매개변수 $\phi_{\pi}$의 것과 동일한가? 이는 어떻게 제타 적분과 함수방정식을 통해 검증되는가?

주요 결과

• 표준 $L$-매개변수 $\phi_{\pi}$의 해석적 컨덕터 $n_{\pi}$와 일치하는 윌커스터 뉴폼의 최소 수준 $m_{\pi}$는 $m_{\pi} = n_{\pi}$이다.
• 수준 $m_{\pi}$의 준표모듈라 형식의 공간 $V(m_{\pi})$는 일차원이며, 제타 적분 항등식을 만족하는 유일한(스칼라 곱을 제외한 유일성) 윌커스터 함수 $W$를 포함한다.
• 표준 뉴폼 $W \in V(m_{\pi})$에 대해 $\int_{F^\times} W(\text{diag}(t,t,1,1)) |t|^{s-3/2} d^\times t = L(s,\phi_{\pi})$라는 제타 적분 항등식이 성립하며, 이는 표준 $L$-함수와 일치한다.
• 편의 제타 적분 $\int_{F^\times} W(\text{diag}(t,1,1,-t) \cdot \text{shift}) \omega_{\pi}(t)^{-1} |t|^{s-3/2} d^\times t = q^{\mathfrak{e}} \varepsilon_{\pi} L(s,\phi_{\pi}^\vee)$는 $\varepsilon$-인자와 그 쌍대를 실현한다.
• $\pi$의 $L$-함수 $L(s,\pi)$는 $L(s,\phi_{\pi})$와 일치하며, $\varepsilon$-인자 $\varepsilon(s,\pi,\psi)$는 $\varepsilon(s,\phi_{\pi},\psi)$와 일치한다. 이는 철 추론과 함수방정식을 통해 검증된다.
• 온도 표현의 경우, 일반성과 준표모듈라성이 동치이며, 이는 $PGSp(4)$의 경우에서의 결과를 $GSp(4)$로 일반화한 것이다.