[논문 리뷰] Localisations and Completions of Skew Power Series Rings

Peter Schneider, Otmar Venjakob|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 16.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비가환 Iwasawa 이론에서 비가환 스크류 테일러 급수환을 구성하기 위해, $A = R[[t;\sigma,\delta]]$의 국소화의 완비화로서 초수렴성 있는 스크류 로렌트 급수환을 정의한다. 이는 $A_S$의 완비화가 표준적인 Ore 집합 $S$에 대해 스크류 로렌트 급수환 $B$와 동형임을 증명함으로써, 큰 수의 원소를 역으로 취할 필요를 줄인다. 주요 기여는 비가환 Iwasawa 이론에서 국소화와 완비화를 연결하는 일반적인 프레임워크를 제공하며, Iwasawa 대수와 $p$-진 Hodge 이론에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

This paper is a natural continuation of the study of skew power series rings A initiated in [P. Schneider and O. Venjakob, On the codimension of modules over skew power series rings with applications to Iwasawa algebras, J. Pure Appl. Algebra 204 (2005), 349 - 367.]. We construct skew Laurent series rings B and show the existence of some canonical Ore sets S for the skew power series rings A such that a certain completion of the localisation A_S is isomorphic to B. This is applied to certain Iwasawa algebras. Finally we introduce subrings of overconvergent skew Laurent series rings.

연구 동기 및 목표

• 스크류 로렌트 급수환 $B = R((t;\sigma,\delta))$를 스크류 테일러 급수환 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$의 국소화의 완비화로로 표준적으로 구성하는 것.
• 표준적인 Ore 집합 $S$에서의 국소화 $A_S$의 완비화가 스크류 로렌트 급수환 $B$와 동형임을 증명하여, 큰 집합의 원소를 역으로 취할 필요를 줄이는 것.
• 초수렴성 있는 스크류 로렌트 급수환을 도입하고, $p$-진 Hodge 이론의 개념을 일반화하는 것.
• 결과를 Iwasawa 대수에 적용하여, 구성된 환들이 $A$와 $A_S$에 대해 위상적 콪프랙트성, 노에터성, 평탄성을 보임을 보이는 것.

제안 방법

• 아르틴 환 $R/I_k$ 위의 스크류 로렌트 급수환의 프로젝티브 극한을 통해 $B = R\ll t;\sigma,\delta]]$를 구성함으로써 잘 정의된 위상환의 구조를 확보한다.
• 음의 부분에 대한 성장 조건을 갖는 형식적 무한 급수 $\sum_{i\in\mathbb{Z}} r_i t^i$를 통해 $B$를 정의하고, 명시적 곱셈 규칙 (1.12)-(1.15)를 사용한다.
• 조건 $\delta(R) \subseteq \mathrm{Jac}(R)$ 하에서, 표준적인 Ore 집합 $S = \mathcal{C}_A(\ker \pi)$를 정의한다. 여기서 $\pi: A \twoheadrightarrow (R/\mathrm{Jac}(R))[[t;\overline{\sigma}]]$이다.
• Proposition 2.27를 통해 $I_\bullet$에 의해 유도된 필터레이션에 대한 $A_S$의 완비화가 $B$와 동형임을 증명한다.
• 노름 조건 $\lim_{i\to -\infty} |a_i| u^i = 0$을 사용하여 초수렴성 부분환 $B(|\,|;u)$를 정의하고, 곱셈에 대해 닫혀 있음을 보인다.
• 이deals의 노름과 필터레이션을 사용하여 위상적·대수적 유한성 조건을 확보함으로써, $B$와 그 초수렴성 부분환의 구성이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스크류 테일러 급수환 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$의 표준적인 Ore 집합 $S$에서의 국소화는 완비화를 통해 스크류 로렌트 급수환을 얻을 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 결과로 얻어진 완비화 $B$가 제어된 음의 부분을 갖는 무한 로렌트 급수의 위상환과 동형이 되는가?
• RQ3 어떻게 $B$의 초수렴성 부분환을 정의하고, 곱셈에 대해 닫혀 있음을 보일 수 있는가?
• RQ4 Iwasawa 대수의 맥락에서 국소화 $A_S$와 스크류 로렌트 급수환 $B$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 필터레이션과 노름을 사용하여, 아르틴 환이 아닌 환으로 $B$의 구성이 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 국소화 $A_S$의 완비화는 스크류 로렌트 급수환 $B$와 동형이며, $t$를 역으로 취하고 완비화하는 것으로 $B$를 얻을 수 있음을 보여준다.
• 환 $B$는 프로젝티브 극한 $\varprojlim_k (R/I_k)((t;\overline{\sigma},\overline{\delta}))$로 구성되어 있어 잘 정의된 위상환의 구조를 확보한다.
• 스크류 로렌트 급수환 $B$는 Proposition 1.15의 기준에 따라 왼쪽·오른쪽 $A$-모듈로 노에터성과 평탄성을 갖는다.
• 모든 $D < u < 1$에 대해, Proposition 4.1에서 초수렴성 부분환 $B(|\,|;u)$가 곱셈에 대해 닫혀 있음을 증명하였다.
• 표준 조건 하에서, $B^\dagger(|\,|) = \bigcup_u B(|\,|;u)$는 이상의 노름 선택에 관계없이 독립적이며, Corollary 4.2와 Remark 4.3에서 이를 보였다.
• Iwasawa 대수의 맥락에서, 구성된 환 $B$는 위상적 콱프랙트성, 노에터성, $A$와 $A_S$에 대해 평탄성을 갖는다. 이는 Theorem 3.7에서 증명되었다.