[논문 리뷰] Locality estimes for complex time evolution in 1D

David Pérez-Garcı́a, Antonio Pérez|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1차원 양자 시스템에서의 복소 시간 진화에 대한 아라키의 기초적인 국소성 추정을 지수 감쇠 상호작용으로 확장하여, 실수축을 중심으로 한 영역에서 시간 진화 연산자의 해석성을 증명한다. 주요 결과로는, 상호작용 감쇠 속도에 따라 달라지는 온도 임계값 이상에서 열적 상태에서 상관관계의 지수 감쇠를 확립하며, 아라키의 원래 결과를 특수한 경우로 복원하고, 헬로그래픽 이중성에 의해 2차원 PEPS의 스펙트럼 갭 문제에 응용을 확장한다.

ABSTRACT

It is a generalized belief that there are no thermal phase transitions in short range 1D quantum systems. However, the only known case for which this is rigorously proven is for the particular case of finite range translational invariant interactions. The proof was obtained by Araki in his seminal paper of 1969 as a consequence of pioneering locality estimates for the time-evolution operator that allowed him to prove its analiticity on the whole complex plane, when applied to a local observable. However, as for now there is no mathematical proof of the abscence of 1D thermal phase transitions if one allows exponential tails in the interactions. In this work we extend Araki's result to include exponential (or faster) tails. Our main result is the analyticity of the time-evolution operator applied on a local observable on a suitable strip around the real line. As a consequence we obtain that thermal states in 1D exhibit exponential decay of correlations above a threshold temperature that decays to zero with the exponent of the interaction decay, recovering Araki's result as a particular case. Our result however still leaves open the possibility of 1D thermal short range phase transitions. We conclude with an application of our result to the spectral gap problem for Projected Entangled Pair States (PEPS) on 2D lattices, via the holographic duality due to Cirac et al.

연구 동기 및 목표

• 1969년 아라키의 1차원 양자 시스템에서 시간 진화 연산자의 해석성에 관한 결과를 지수(또는 그 이상) 감쇠 상호작용으로 일반화한다.
• 유한 범위 상호작용을 초월하여 지수 감쇠 상호작용을 가진 1차원 시스템에서의 복소 시간 진화에 대한 국소성 추정을 수립한다.
• 무한체적 금속 상태에서 상호작용 감쇠 속도에 따라 달라지는 온도 임계값 이상에서 상관관계의 지수 감쇠를 증명한다.
• 2차원 PEPS의 스펙트럼 갭 기준을 유한 범위 상호작용에서 지수 감쇠 상호작용으로 확장한다.
• 엄밀한 국소성 추정과 열상전이 및 양자 many-body 시스템의 스펙트럼 갭과 같은 물리적 현상 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• 아라키의 원래 접근을 일반화하여, 시간 진화를 표면을 가로질러 전달되는 에너지 상호작용으로 표현함으로써 1차원 시스템에서의 복소 시간 진화에 대한 새로운 국소성 추정을 유도한다.
• 신규 국소성 추정을 활용하여 아라키-다이슨 전개 공식을 사용해 평형 상태의 국소적 변화를 분석한다.
• 신규 국소성 추정과 리브-로빈슨 경계를 함께 적용하여 해석성의 영역을 복소 시간 평면의 수평 스트립으로 확장한다.
• 해석성 스트립의 폭이 상호작용 감쇠 속도 λ에 비례하며, 구체적으로 |Im(s)| < λ/(4Ω₀)임을 증명한다. 여기서 Ω₀는 상호작용 강도이다.
• 시간 진화 연산자의 해석성을 이용하여, β < λ/(2Ω₀)일 때 KMS 상태에서 상관관계의 지수 감쇠를 증명한다.
• 결과를 2차원 PEPS의 스펙트럼 갭 문제에 적용하여, 경계 해밀토니안이 지수 감쇠를 가질 경우 부모 해밀토니안은 갭이 있음을 보여주며, 이는 이전의 유한 범위 상호작용에 대한 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 양자 시스템에서 아라키의 시간 진화 해석성 결과를 지수 감쇠 상호작용으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 상호작용이 엄밀히 유한 범위가 아니라 지수 감쇠할 경우, 1차원 시스템에서의 열상전이 부재 현상이 유지되는가?
• RQ3 상관관계 지수 감쇠의 온도 임계값이 상호작용 감쇠 속도에 따라 정확히 어떻게 달라지는가?
• RQ4 2차원 PEPS의 스펙트럼 갭 기준을 유한 범위 상호작용에서 지수 감쇠 상호작용으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 상호작용이 다항식보다 빠르게 감쇠(예: 지수 감쇠)할 경우, 복소 시간 진화에 대한 국소성 추정은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 상호작용이 Ωₙ = O(e⁻ˡⁿ) 형태로 감쇠할 경우, λ > 0 이면 국소적 관측량에 적용된 시간 진화 연산자는 복소 평면에서 |Im(s)| < λ/(4Ω₀) 영역에서 해석적이다.
• 1차원 시스템의 열적 상태는 모든 역온도 β < λ/(2Ω₀)에서 상관관계가 지수 감쇠하며, 감쇠 속도는 상호작용 감쇠 지수 λ에 따라 달라진다.
• 상호작용 감쇠 속도가 증가함에 따라 상관관계 감쇠의 온도 임계값이 감소하며, λ → ∞ 일 때 유한 범위 극한에서 아라키의 원래 결과를 복원한다.
• 결과는 2차원 PEPS의 스펙트럼 갭 기준을 지수 감쇠 상호작용으로 확장하며, 경계 상태가 이러한 상호작용을 가진 금속 상태일 경우 부모 해밀토니안은 갭이 있음을 보여준다.
• 해석성 스트립의 폭과 그로 인한 상관관계 감쇠 임계값은 상호작용 감쇠와 강도의 상호작용에 의해 결정되며, λ와 Ω₀가 핵심 매개변수이다.
• 이 방법은 아라키-다이슨 전개의 정교한 응용과 함께 새로운 국소성 추정을 사용하며, 이 경우 기술적 한계로 인해 허스턴의 편미분 공식에 의존하지 않는다.