[논문 리뷰] Locality of dynamics in general harmonic quantum systems

M. Cramer, Alessio Serafini외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 06.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 3인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 격자 위의 일반적인 조화 양자 시스템에 대해 리브-로빈슨 경계를 수립하며, 유한 차원 스핀 시스템에 국한된 표준 정리를 무한 차원, 연속 변수 시스템으로 확장한다. 국소적 상호작용은 비국소적 교환관계의 초지수적 감쇠를 유도하는 반면, 다항식 감쇠 상호작용은 다항식 억제를 초래하며, 클라인-고든 장의 연속체 근사에서 정확한 인과성이 나타난다.

ABSTRACT

The Lieb-Robinson theorem states that locality is approximately preserved in the dynamics of quantum lattice systems. Whenever one has finite-dimensional constituents, observables evolving in time under a local Hamiltonian will essentially grow linearly in their support, up to exponentially suppressed corrections. In this work, we formulate Lieb-Robinson bounds for general harmonic systems on general lattices, for which the constituents are infinite-dimensional, as systems representing discrete versions of free fields or the harmonic approximation to the Bose-Hubbard model. We consider both local interactions as well as infinite-ranged interactions, showing how corrections to locality are inherited from the locality of the Hamiltonian: Local interactions result in stronger than exponentially suppressed corrections, while non-local algebraic interactions result in algebraic suppression. We derive bounds for canonical operators, Weyl operators and outline generalization to arbitrary operators. As an example, we discuss the Klein-Gordon field, and see how the approximate locality in the lattice model becomes the exact causality in the field limit. We discuss the applicability of these results to quenched lattice systems far from equilibrium, and the dynamics of quantum phase transitions.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 스핀 시스템에 국한된 리브-로빈슨 경계를 일반 격자 위의 무한 차원 조화 시스템으로 일반화한다.
• 시간에 따라 진화하는 관측량에서 비국소적 교환관계의 감쇠가 상호작용의 공간적 구조—국소적 대비 장거리—에 따라 어떻게 달라지는지 분석한다.
• 조화 격자에서의 캐논ical 연산자, 웨일 연산자, 임의의 연산자에 대해 엄밀한 경계를 수립한다.
• 격자 모델에서의 근사 인과성이 클라인-고든 장의 연속체 근사에서 정확한 인과성으로 어떻게 나타나는지 보여준다.
• 쿼런치 조화 시스템에서의 비평형 역학 연구를 가능하게 하며, 이는 양자 상전이 및 얽힘 역학을 포함한다.

제안 방법

• 국소 해밀토니안 하에서 시간 진화를 고려한 하이젠베르크 그림을 사용하여 조화 시스템에 대한 리브-로빈슨 경계를 유도한다.
• 연산자 노름 추정과 기하학적 추론을 활용하여 거리 $ d $ 떨어진 웨일 연산자 간의 교환관계를 경계짓는다. 이때 격자 구조와 상호작용 감쇠를 포함한다.
• 격자 상의 먼 거리에 있는 점 쌍 사이의 경로 수에 대한 조합론적 추정을 적용하며, 영역의 표면적과 격자의 볼 성장률을 활용한다.
• 거리 $ ext{dist}(i,j) = ext{dist}(i,k) + ext{dist}(k,l) + ext{dist}(l,j) $ 를 활용하여 점 쌍의 합을 경계층으로 분해한다.
• 상호작용 강도를 나타내는 $ f(d) $ 와 함께 $ f(d) imes d^{D-1} $ 를 포함하는 합의 渐近적 행동을 분석하여 감쇠 경계를 수립한다. 여기서 $ f(d) $ 는 지수적 또는 다항식 감쇠를 표현한다.
• 웨일 연산자에 대한 경계를 유도하고, 선형 조합과 노름 추정을 통해 임의의 연산자로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 격자 구조를 가진 무한 차원 조화 시스템에서 양자 역학적 국소성은 어떻게 나타나는가?
• RQ2 비국소적 교환관계의 감쇠 속도는 상호작용의 공간 범위—국소적 대비 다항식 감쇠—에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 격자 조화 모델에서의 근사 인과성이 연속체 장 근사에서 정확한 인과성으로 수렴할 수 있는가?
• RQ4 조화 시스템에서의 웨일 연산자에 대한 리브-로빈슨 경계는 유한 차원 스핀 시스템의 경계와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 경계는 조화 격자에서의 쿼런치 및 양자 상전이와 같은 비평형 역학에 얼마나 광범위하게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소적 상호작용의 경우, 교환관계 감쇠는 지수 감쇠를 초월하여 초지수적 억제를 보이며, 경계 형태 $ ext{const} imes ext{e}^{- ext{dist}(A,B) + v|t|} $ 를 취한다. 이는 초지수적 억제를 나타낸다.
• 다항식 감쇠 상호작용의 경우 감쇠는 다항식이며, 경계는 $ ext{const} imes (1 + ext{dist}(A,B))^{- u} $ 의 형태로 스케일되며, 해밀토니안의 감쇠 속도를 그대로 이어받는다.
• 클라인-고든 장의 경우, 격자 모델에서의 근사 인과성이 연속체 근사에서 정확한 인과성으로 전환되며, 상대성 인과성을 복원한다.
• 웨일 연산자에 대한 경계는 기하학적 층화와 경로 수 계산을 통해 유도되며, 영역의 표면적과 격자의 차원에 의존한다.
• 먼 거리의 점 쌍에 대한 합은 $ ext{dist}^{D-1}( ext{dist}) imes ext{sum over } d $ 를 통해 제어되며, 적절한 감쇠 조건 하에서 유한한 경계를 제공한다.
• 선형 조합과 노름 추정을 통해 임의의 연산자로의 일반화가 가능하여, 조화 시스템에서의 비평형 역학 응용에 넓은 적용 가능성을 제공한다.