[논문 리뷰] Localization for nonabelian group actions

Lisa C. Jeffrey, Frances Kirwan|ArXiv.org|1993. 07. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 군 작용 하에서 심플렉틱 몫 ${\cal M}_X = \mu^{-1}(0)/K$의 기본류 위에서 코homology 클래스의 평가를 계산하기 위한 잔여 공식을 수립한다. 국소화 기법과 동차 코homology를 사용한다. 주요 기여는 최대 토러스의 고정점 성분에 대한 동차 클래스의 제한을 통해 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 를 표현하는 공식을 제공함으로써, 교차 페어링을 계산하고, 따라서 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 의 코homology 링의 구조를 밝혀내는 데 기여한다.

ABSTRACT

Suppose $X$ is a compact symplectic manifold acted on by a compact Lie group $K$ (which may be nonabelian) in a Hamiltonian fashion, with moment map $μ: X o { m Lie}(K)^*$ and Marsden-Weinstein reduction $\xred = μ^{-1}(0)/K$. There is then a natural surjective map $κ_0$ from the equivariant cohomology $H^*_K(X) $ of $X$ to the cohomology $H^*(\xred)$. In this paper we prove a formula (Theorem 8.1, the residue formula) for the evaluation on the fundamental class of $\xred$ of any $η_0 \in H^*(\xred)$ whose degree is the dimension of $\xred$, provided that $0$ is a regular value of the moment map $μ$ on $X$. This formula is given in terms of any class $η\in H^*_K(X)$ for which $κ_0(η) = η_0$, and involves the restriction of $η$ to $K$-orbits $KF$ of components $F \subset X$ of the fixed point set of a chosen maximal torus $T \subset K$. Since $κ_0$ is

연구 동기 및 목표

• 모멘트 맵의 0이 정상값일 때 심플렉틱 몫 $\mathcal{M}_X = \mu^{-1}(0)/K$ 의 코homology 링의 구조를 결정하는 것.
• 핵심 계산을 대체하기 위해 $\kappa_0: H^*_K(X) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ 에 대해 교차 페어링을 사용하는 것.
• 임의의 상위 차수의 $\eta_0 \in H^*(\mathcal{M}_X)$ 에 대해 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 를 계산하는 잔여 공식을 수립하는 것.
• 동일한 기법을 사용하여 위튼의 비아벨 국소화 공식의 새로운 증명을 제시하는 것.

제안 방법

• 최대 토러스 작용에 대한 아벨 국소화 정리를 사용하여, 고정점 기여도로의 프로젝션을 표현한다.
• 심플렉틱 형식의 동차 정규형을 $\mu^{-1}(0)$ 근처에 적용하여 국소적 행동을 분석한다.
• 최대 토러스 $T \subset K$ 에서의 고정점 성분 $F$ 의 $K$-궤도 $KF$ 에 대해 동차 클래스 $\eta \in H^*_K(X)$ 를 제한한다.
• 고정점 성분에 대한 합을 포함하고, 각 $F$ 에서의 가중치와 그 곱을 포함하는 잔여 공식(정리 8.1)을 구성한다.
• 동차 및 몫 코homology를 연결하기 위해 자연 동형사상 $\pi_0^*: H^*(\mathcal{M}_X) \to H^*_K(\mu^{-1}(0))$ 를 사용한다.
• 다항식 항등식과 이항 전개를 사용하여 $\kappa_0$ 의 핵에 속하는 클래스에 대해 잔여항의 영성 여부를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 맵의 0이 정상값일 때, $H^*(\mathcal{M}_X)$ 는 $H^*_K(X)$ 로부터 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 고정점 데이터를 사용하여 $\mathcal{M}_X$ 위에서 상위 차수 클래스의 평가를 계산하는 잔여 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ3 잔여 공식은 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 의 생성자와 관계를 결정하는 데 실용적인 방법을 제공하는가?
• RQ4 이 잔여 접근법을 사용하여 위튼의 비아벨 국소화 공식을 재유도할 수 있는가?
• RQ5 일부 잔여항의 영성은 어떤 조건에서 보장되며, 이는 $\kappa_0$ 의 핵과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 잔여 공식(정리 8.1)은 $T$-작용의 고정점 성분 $F$ 에 대한 합으로서 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 를 표현하며, 각 $F$ 에서의 $\eta$ 의 제한과 가중치의 곱을 포함한다.
• 이 공식은 교차 페어링을 통해 $H^*_K(X)$ 의 생성자와 관계로부터 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 의 생성자와 관계를 결정하는 데 기여한다.
• $\kappa_0$ 의 핵은 모든 $\eta$ 에 대해 $\kappa_0(\eta) = \eta_0$ 이면 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 가 영이 되는 것으로 특징지어지며, 이는 잔여 공식의 영성과 동치이다.
• 잔여 공식은 위튼의 비아벨 국소화 공식의 새로운 증명을 제공하며, 고정점 분석을 통해 그 타당성을 확인한다.
• 일부 잔여항의 영성은 다항식 항등식을 통해 입증된다: $\sum_{k=0}^r (-1)^k \binom{r}{k} k^s = 0$ for $s \leq r-2$, 이는 $(1 - e^\lambda)^r$ 의 전개로부터 유도된다.
• $K = SU(2)$ 인 $\mathbb{P}^N$ 의 경우, 공식은 $P_+(\xi,\alpha)$ 와 $P_-(\xi,\alpha)/\alpha$ 가 $H^*_K(\mathbb{P}^N) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ 의 핵을 생성함을 확인한다.