[논문 리뷰] Localization for the one-dimensional Anderson model via positivity and large deviations for the Lyapunov exponent

Valmir Bucaj, David Damanik외 5명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 33인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무작위 행렬 곱에 대한 리아프노프 지수의 양성과 대규모 변동 추정을 이용하여, 1차원 앤더슨 모형에 대한 스펙트럼 및 동역학적 국소화의 자가 포함된 증명을 제시한다. 일반화된 고유함수들이 ±∞ 에서 리아프노프 행동을 보임을 입증하여 지수적 감쇠와 순수 점 스펙트럼을 유도하며, 다중 척도 분석에 의존하지 않는다.

ABSTRACT

We provide a complete and self-contained proof of spectral and dynamical localization for the one-dimensional Anderson model, starting from the positivity of the Lyapunov exponent provided by Fürstenberg's theorem. That is, a Schrödinger operator in $\ell^2(\mathbb{Z})$ whose potential is given by independent identically distributed (i.i.d.) random variables almost surely has pure point spectrum with exponentially decaying eigenfunctions and its unitary group exhibits exponential off-diagonal decay, uniformly in time. This is achieved by way of a new result: for the Anderson model, one typically has Lyapunov behavior for all generalized eigenfunctions. We also explain how to obtain analogous statements for extended CMV matrices whose Verblunsky coefficients are i.i.d., as well as for half-line analogs of these models.

연구 동기 및 목표

• 1차원 앤더슨 모형에 대한 스펙트럼 및 동역학적 국소화의 완전하고 자가 포함된 증명을 제공하는 것.
• 모든 일반화된 고유함수가 공간의 양 끝에서 리아프노프 행동을 보임을 입증하여 지수적 감쇠를 보장하는 것.
• 무작위 행렬 곱에 대한 기본 결과로부터 국소화를 도출함으로써 다중 척도 분석(MSA)이 필요 없도록 하는 것.
• 독립 동일분포의 베르블루스키 계수를 가진 확장된 CMV 행렬과 그 반선형 해석으로의 방법 확장.
• 새로운 대규모 변동 기법을 사용하여 고유함수와 그린 함수의 정량적 지수 감쇠 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 에너지 E에 대해 리아프노프 지수의 양성을 확보하기 위해 퓌르스텐베르크의 정리를 활용한다.
• ±∞ 에서 해의 지수적 감쇠/성장을 특징짓기 위해 오셀레체츠의 곱셈적 에르고딕 정리를 적용한다.
• 새로운 결과: 앤더슨 모형의 일반화된 고유함수들이 거의 확실히 양측 ±∞ 에서 리아프노프 행동을 보인다.
• 독립 동일분포의 무작위 행렬 곱에 대한 대규모 변동 추정(LDT)을 사용하여 전이 행렬의 노름을 제어한다.
• 전이 행렬 기법과 그린 함수 추정을 적용하여 시간 진동의 지수적 비대칭 감쇠를 도출한다.
• 게슈체시-진첸코 전이 행렬과 쇤올의 정리의 적절한 해석을 사용하여 방법을 CMV 행렬에 적응시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 앤더슨 모형에서 스펙트럼 국소화를 다중 척도 분석에 의존하지 않고 증명할 수 있는가?
• RQ2 앤더슨 모형의 일반화된 고유함수들이 거의 확실히 양측 ±∞ 에서 리아프노프 행동을 보이는가?
• RQ3 동일한 방법을 독립 동일분포의 베르블루스키 계수를 가진 확장된 CMV 행렬로 확장할 수 있는가?
• RQ4 전이 행렬의 노름을 제어하고 지수적 감쇠를 보장하기 위해 필요한 대규모 변동 추정은 무엇인가?
• RQ5 리아프노프 행동으로부터 고유함수와 그린 함수의 정량적 지수 감쇠를 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 거의 모든 ω에 대해, 앤더슨 모형의 모든 일반화된 고유함수는 리아프노프 지수 L(E)의 비율로 ±∞ 에서 지수적으로 감쇠한다.
• 일반화된 고유함수들이 전반적인 리아프노프 행동을 보임에 따라 Hω의 스펙트럼은 순수 점 스펙트럼이며, 고유함수는 지수적으로 감쇠한다.
• 시간에 관계없이 균일하게 단위군 e^{-itHω}의 지수적 비대칭 감쇠가 입증되어 동역학적 국소화를 의미한다.
• 다중 척도 분석을 피하고 리아프노프 지수의 양성과 무작위 행렬 곱에 대한 대규모 변동 추정에 기반하여 방법을 적용한다.
• 결과는 독립 동일분포의 베르블루스키 계수를 가진 확장된 CMV 행렬로도 확장되며, 이 경우에도 일반화된 고유함수는 ±∞ 에서 지수적으로 감쇠한다.
• 반선형 해석의 결과는 도메인을 제한하고 그린 함수 및 전이 행렬의 추론을 적절히 조정함으로써 증명된다.