[논문 리뷰] Localization in GWZW and Verlinde formula

A. Gerasimov|ArXiv.org|1993. 05. 19.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 1인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은(compact 군에 대한) 게이지화된 웨스-줄리오-위트텐(GWZW) 모형의 기능적 적분이 페르미온성 BRST 유사 대칭을 기반으로 한 국소화 방법을 사용하여 정확히 해석 가능하다는 것을 보여준다. 임의의 리만 곡면 위의 SU(2) 군에 대해, 분할 함수는 conformal block의 수를 계산하며, 정확한 1-루프 결정식과 위상수학적 섹터에 대한 유한 차원 적분을 통해 베르린데 공식을 재현한다.

ABSTRACT

Gauged Wess-Zumino-Witten theory for compact groups is considered. It is shown that this theory has fermionic BRST-like symmetry and may be exactly solved using localization approach. As an example we calculate functional integral for the case of SU(2) group on the arbitrary Riemann surface. The answer is the particular case of Verlinde formula for the number of conformal blocks.

연구 동기 및 목표

• GWZW 모형을 정확히 해결하기 위한 코homological 국소화 방법을 수립하기 위해.
• GWZW 모형의 분할 함수가 WZW 이론에서 conformal block의 공간 차원을 계산한다는 것을 보여주기 위해.
• 자유 이론과 위상적 이론을 초월하여 제약 조건이 있는, 통합 가능한 2차원 양자장 이론을 포함하는 국소화 접근법을 일반화하기 위해.
• 베르린데 공식을 통해 GWZW의 기능적 적분을 초전도 이론과 모듈리 공간 기하학에 연결하기 위해.
• 유한 차원 축소와 1-루프 결정식을 사용하여 베르린데 공식의 장 이론적 유도를 제공하기 위해.

제안 방법

• GWZW 작용에 내재된 페르미온성 BRST 유사 대칭을 활용하여 경로 적분의 국소화를 가능하게 하기 위해.
• 무한 차원의 기능적 적분을 평탄한 접속(平坦接続)과 영 모드에 대한 유한 차원 적분으로 감소시키기 위해.
• GWZW 분할 함수가 평탄한 접속의 모듈리 공간의 코homology와 관련됨을 보여주기 위해 초전도 이론 프레임워크를 적용하기 위해.
• 게이지 고정된 작용과 고스트 기여를 사용하여 고전적 해 주위의 2차 변동의 1-루프 결정식을 계산하기 위해.
• 군 원소의 게이지 변환에 의한 매개변수화를 사용하여 작용의 제2차 변동을 대각화하고 결정식 비율을 계산하기 위해.
• 1-루프 기여를 통해 수준 k가 c_v로 재정규화되어 k + c_v로 변하는 것을 유도하기 위해, 여기서 c_v는 쌍대 코크스터 수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GWZW 모형은 비위상적이고 비자유적 성격을 지니고 있음에도 불구하고, 국소화 기법을 사용하여 정확히 해결될 수 있는가?
• RQ2 GWZW에서의 BRST 유사 대칭은 경로 적분을 유한 차원 적분으로 감소시키는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 GWZW 분할 함수와 conformal block에 대한 베르린데 공식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 GWZW 모형의 1-루프 보정은 고전적 conformal block 차원에 대한 알려진 양자 보정을 어떻게 재현하는가?
• RQ5 국소화 방법은 비콤팩트 또는 고차원 군으로 확장될 수 있으며, 이 경우 쌍대 코크스터 수는 결과에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 생성수 g인 리만 곡면 위의 SU(2) GWZW 모형의 분할 함수는 이산적 위상수학적 섹터에 대한 합으로 주어지며, 이는 베르린데 공식을 도출한다.
• 1-루프 결정식 비율은 (2 sin φ)^{-2(g-1)} 요소를 기여하며, SU(2)의 경우 수준이 k → k + 2로 이동함을 보여주며, 알려진 양자 보정과 일치한다.
• 최종 결과는 다음의 베르린데 공식과 정확히 일치한다: dim H^0(M^G; L^k) = ∑_{l=1}^{k+2} (2(k+2)^{g-1}) / (sin(2πl/(k+2)))^{2(g-1)}.
• 유한 차원 축약은 한 도전도도(영 모드)를 정확히 다루고 나머지를 준고전적으로 다루는 방식으로 달성되며, 고정점 국소화의 개념과 일치한다.
• 행동는 경계가 Σ인 다양체 B에서의 3차원 확장과 경계 항을 포함하여 위상적으로 비자명한 번들로 일반화된다.
• 이 방법은 GWZW가 분할 함수가 conformal block의 공간 차원을 계산하는 위상적 양자장 이론임을 확인한다.