[논문 리뷰] Localization in Homotopy Type Theory

J. Daniel Christensen, Morgan Opie외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 유형 이론에서 국소화 이론을 개발하며, 기저를 가진 단순 연결된 유형에 대해 소수 p에 대한 국소화가 모든 호모토피 군에 대해 대수적 p-국소화를 유도함을 확립한다. 반사 부분유니버스와 L'-국소화의 구성에 의해, 순환 공간이 국소화와 가환함을 증명하고, Eilenberg-Mac Lane 공간의 국소화를 완전히 특성화함으로써, 직관주의적이고 구성적인 설정에서 대수적 국소화를 위한 호모토피적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

We study localization at a prime in homotopy type theory, using self maps of the circle. Our main result is that for a pointed, simply connected type $X$, the natural map $X o X_{(p)}$ induces algebraic localizations on all homotopy groups. In order to prove this, we further develop the theory of reflective subuniverses. In particular, we show that for any reflective subuniverse $L$, the subuniverse of $L$-separated types is again a reflective subuniverse, which we call $L'$. Furthermore, we prove results establishing that $L'$ is almost left exact. We next focus on localization with respect to a map, giving results on preservation of coproducts and connectivity. We also study how such localizations interact with other reflective subuniverses and orthogonal factorization systems. As key steps towards proving the main theorem, we show that localization at a prime commutes with taking loop spaces for a pointed, simply connected type, and explicitly describe the localization of an Eilenberg-Mac Lane space $K(G,n)$ with $G$ abelian. We also include a partial converse to the main theorem.

연구 동기 및 목표

• 기본 원리인 배제된 중간 또는 선택 공리와 같은 고전적 원리에 의존하지 않고, 호모토피 유형 이론에서 구성적이고 호모토피 불변인 국소화 이론을 개발하기 위해.
• 기저를 가진 단순 연결된 유형에 대해 소수 p에 대한 국소화가 호모토피 군에 대해 대수적 p-국소화를 유도함을 확립하기 위해.
• L-분리된 유형의 부분유니버스를 도입하고 반사됨을 증명함으로써 반사 부분유니버스 이론을 일반화하며, L'-국소화가 핵심 호모토피적 성질을 유지함을 보이기 위해.
• 국소화가 순환 공간과 단절화와 가환함을 보여주어, Eilenberg-Mac Lane 공간의 국소화를 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 클래식적 호모토피 이론에 의존하지 않고, 구성적이고 대수적인 방법으로 집합 S에 대해 아벨 군의 국소화를 증명하기 위해.

제안 방법

• 반사 부분유니버스 L을 도입하고, 그 정의된 유형들인 L-분리된 유형의 부분유니버스를 중심으로 연구한다. 여기서 L-분리된 유형은 그 동치 유형이 L-국소화된 유형이다.
• L'-국소화를 L-분리된 유형의 반사 부분유니버스로 구성하며, 조인 구성과 의존적 귀납법을 사용하여 반사성을 증명한다.
• 단위 사상 X → L'X 가 동치 유형에 대해 L-국소화를 유도하므로, ΩL'X ≃ LΩX 임을 증명함으로써 국소화가 순환 공간과 가환함을 보인다.
• 유니버설 유니버스를 사용하여 L'-국소화에 대해 제약 조건이 있는 의존적 제거 원리를 구성함으로써, 당김과 섬유 수열의 유지가 가능함을 보인다.
• 지도 f에 대해, L = L_f 이면 L_{Σf} 가 L'-국소화와 일치함을 보이고, 이로써 결과를 다수의 지도 가족에 대한 국소화로 이행할 수 있음을 보인다.
• ||f||_n 이 동치일 때 L_f 가 n-연결성을 유지함을 증명하고, 이를 통해 국소화 하에서 단절화와 섬유 수열을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 유형 이론에서 소수 p에 대한 국소화가 기저를 가진 단순 연결된 유형의 호모토피 군에 대해 대수적 p-국소화를 유도하는가?
• RQ2 L-분리된 유형의 부분유니버스는 반사될 수 있으며, 그 국소화 함자 L'은 당김과 섬유 수열과 같은 핵심 호모토피적 구조를 유지하는가?
• RQ3 백색의 정리 없이 구성적이고 직관주의적 설정에서 국소화가 순환 공간과 단절화와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 호모토피 유형 이론에서 지도 f에 대한 국소화가 순환 공간과 단절화 연산과 얼마나 가환하는가?
• RQ5 집합 S에 대해 아벨 군의 대수적 국소화는 구성적이고 호모토피적 방법만을 사용하여 범주 내에서 증명되고 동치임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 기저를 가진 단순 연결된 유형 X와 소수 p에 대해, 자연 사상 X → X_{(p)} 는 모든 호모토피 군 π_n(X) → π_n(X_{(p)}) 를 유도하며, n ≥ 2 이다.
• L-분리된 유형의 부분유니버스는 반사적이며, 그 국소화 함자 L' 는 ΩL'X ≃ LΩX 를 만족하므로 국소화가 순환 공간과 가환한다.
• 소수에 대한 국소화는 단절화와 가환하므로, n ≥ 1 에 대해 ||L_{deg(S)}X||_n ≃ L_{deg(S)}||X||_n 이다.
• G 가 아벨 군인 Eilenberg-Mac Lane 공간 K(G,n) 의 국소화는 K(G_{(S)},n) 이며, 여기서 G_{(S)} 는 G 의 S-국소화이다.
• 집합 S에 대해 아벨 군 G 의 국소화는 G → G → G → ... 의 열의 합성곱(colimit)과 동치이며, 이 구성은 아벨 군 범주 내에서 유효하다.
• 부분적인 역도 성립한다: 만약 두 기저를 가진 단순 연결된 n-형태 사이의 사상 f 가 모든 m > 1 에 대해 π_m 에 대해 대수적 S-국소화를 유도한다면, f 는 deg(S)-국소화이다.