[논문 리뷰] Localization of quantum walks induced by recurrence properties of random walks

Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 랜덤 워크(RW)의 재귀성과 세제디 유형 양자 워크(QW)에서의 국소화 사이의 직접적 연관성을 확립한다. 국소화가 RW의 ℓ² 고유벡터와 고유값 ±1을 가진 수직 보조공간 ℋ^(S)에서 기인함을 보여주며, 특히 RW의 양의 재귀성은 국소화를 보장하고, 단 한 개의 자기순환(self-loop)만으로도 일반적으로 비재귀적인 RW에서조차 국소화를 유도할 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We study a quantum walk (QW) whose time evolution is induced by a random walk (RW) first introduced by Szegedy (2004). We focus on a relation between recurrent properties of the RW and localization of the corresponding QW. We find the following two fundamental derivations of localization of the QW. The first one is the set of all the $\ell^2$ summable eigenvectors of the corresponding RW. The second one is the orthogonal complement, whose eigenvalues are $\pm 1$, of the subspace induced by the RW. In particular, as a consequence, for an infinite half line, we show that localization of the QW can be ensured by the positive recurrence of the corresponding RWs, and also that the existence of only one self loop affects localization properties.

연구 동기 및 목표

• 고전적 랜덤 워크의 재귀성과 양자 워크에서의 국소화 사이의 관계를 조사하는 것.
• 양자 워크가 국소화를 보일 수 있는 구조적 및 스펙트럼 조건을 규명하는 것.
• 특히 무한 그래프에서 국소화에 있어 수직 보조공간 ℋ^(S)의 역할을 분석하는 것.
• 무한 반직선에서 자기순환의 영향이 양자 워크의 국소화 행동에 어떻게 작용하는지 규명하는 것.

제안 방법

• Szegedy 양자 워크 연산자 W = U²의 고유계를 분석하여 힐베르트 공간을 RW에 의해 유도된 ℋ^(R)과 그 수직보조공간 ℋ^(S)로 분해한다.
• ℋ^(S)의 고유값이 ±1이며, 이들의 중복도가 RW의 고유값과 자기순환의 수에 따라 달라짐을 규명한다.
• 시간 평균 한계 측도를 사용하여 국소화를 정의하며, 특히 표준 분포가 보장되지 않는 무한계 시스템에서 측도가 양수일 경우를 고려한다.
• 스펙트럼 이론을 적용하여 RW의 ℓ² 합산 가능한 고유벡터가 QW의 국소화와 관련됨을 밝힌다.
• 양의 재귀적 RW의 정적 분포를 이용해 시간 평균 한계 측도에 하한을 도출한다.
• 특히 무한 반직선 그래프에서 자기순환의 영향이 ℋ^(S)의 차원과 국소화에 미치는 영향을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 랜덤 워크의 재귀성은 해당 양자 워크에서 국소화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 무한 그래프에서 양자 워크의 국소화를 결정짓는 데 있어 수직보조공간 ℋ^(S)의 역할은 무엇인가?
• RQ3 기본 랜덤 워크가 비재귀적일 때조차 단 한 개의 자기순환으로도 국소화를 유도할 수 있는가?
• RQ4 자기순환의 수가 ℋ^(S)의 차원과 그로 인한 국소화 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 양자 워크의 시간 평균 한계 측도가 언제 양수를 유지하는가? 이는 국소화를 나타내는 조건이다.

주요 결과

• 양자 워크의 국소화는 기본적으로 해당 고전적 랜덤 워크의 ℓ² 합산 가능한 고유벡터에 의해 유도된다.
• 고유값 ±1을 가지며, 특히 초기 상태가 이에 비례하는 비영 투영을 가질 경우, 수직보조공간 ℋ^(S)가 국소화에 크게 기여한다.
• 무한 반직선에서, RW의 양의 재귀성은 스펙트럼 갭이 없더라도 양자 워크의 국소화를 보장한다.
• 단 한 개의 자기순환만으로도 국소화가 없는 양자 워크가 국소화를 보이게 될 수 있으며, 이는 RW가 비재귀적임에도 불구하고 가능하다.
• 양자 워크의 시간 평균 한계 측도는 양의 재귀적 RW의 정적 분포에 의해 하한이 보장되며, 이는 국소화에 대한 정량적 하한을 제공한다.
• 시간 평균 측도에서 누락된 값 (1−c₀)은 궤도운동적 확산(ballistic spreading)과 관련되며, 콘노 밀도 함수를 포함한 약한 극한 정리로 특성화될 수 있다.