[논문 리뷰] Localization of Vortex Partition Functions in $\mathcal{N}=(2,2) $ Super Yang-Mills theory

Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 15인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $\chi=(2,2)$ $U(N)$ 초대칭 양미오르스 이론에 $N$ 개의 기본 편재 다중분포를 가진 경우, 등방성 국소화를 사용하여 비틀림된 분할 함수를 계산한다. 질량 항을 통해 $\chi=(4,4)$ 이론을 변형하고 $Q$-정확한 작용에 등방성 국소화를 적용함으로써, 분할 함수는 $N$-튜플 일차원 분할로 국소화되며, 이는 비틀림된 질량과 등방성 매개변수에 대한 K-이론적 표현을 제공한다. 아벨 경우는 $\mathbb{C}P^{N-1}$ 과 로모보-고르모프 불변량과 관련된 지수 생성 함수로 줄어든다.

ABSTRACT

In this article, we study the localizaiton of the partition function of BPS vortices in $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ super Yang-Mills theory with $N$-flavor on $\R^2$. The vortex partition function for $\mathcal{N}=(2,2)$ super Yang-Mills theory is obtained from the one in $\mathcal{N}=(4,4)$ super Yang-Mills theory by mass deformation. We show that the partition function can be written as $Q$-exact form and integration in the partition functions is localized to the fixed points which are related to $N$-tuple one dimensional partitions of positive integers.

연구 동기 및 목표

• $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 초대칭 양미오르스 이론에 $N$ 개의 기본 편재 다중분포를 가진 경우의 비틀림 분할 함수를 계산하는 것.
• 두 차원의 $\mathcal{N}=(2,2)$ 이론에서 비아벨 비틀림 모듈리 공간에 등방성 국소화 방법을 확장하는 것.
• 비틀림 모듈리 공간을 묘사하는 카이hl러 몫 공간의 등방성 특성으로부터 K-이론적 비틀림 분할 함수를 유도하는 것.
• 비틀림 분할 함수와 큰 $N_f$ 근사에서 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 의 $J$-함수 사이의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 비틀림 모듈리 공간의 고정점으로 경로 적분을 국소화하기 위해 $Q$-정확한 변형을 사용하는 것.
• $\mathcal{N}=(4,4)$ 에서의 이론을 초위상의 질량 항과 큰 초위상 에너지 근사로 $\mathcal{N}=(2,2)$ 이론으로의 변환.
• $N$ 개의 기본 편재 다중분포와 비틀림된 질량을 가진 $U(N)$ 게이지 이론에 등방성 국소화를 적용하는 것.
• 비틀림 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{k,N}$ 의 접공간 특성표를 표현 공간의 몫으로 표현하는 것.
• 표현 $V$, $W$, $Q$ 의 특성표를 통해 K-이론적 분할 함수를 도출하며, $V$ 는 $N$-튜플 분할을 표현한다.
• $\beta \to 0$ 근사에서 K-이론적 형태로부터 코homological (장 이론) 분할 함수를 복원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 초대칭 양미오르스 이론에 $N$ 개의 기본 편재 플레이어를 가진 경우, 등방성 국소화에 의한 비틀림 분할 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 비틀림된 질량이 존재할 경우 비틀림 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{k,N}$ 의 구조는 어떠한가? 그리고 $U(1)^N$ 대칭에 의해 어떻게 분해되는가?
• RQ3 비틀림 모듈리 공간의 카이hl러 몫 구성의 등방성 특성으로부터 K-이론적 비틀림 분할 함수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 비틀림 분할 함수의 아벨 극한은 $\mathbb{C}P^{N-1}$ 의 $J$-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 큰 $N_f$ 근사에서 비아벨 비틀림 분할 함수와 그라스만다이언 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 의 $J$-함수 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 이론에서의 비틀림 분할 함수는 양의 정수의 $N$-튜플 일차원 분할로 표시되는 고정점으로 국소화된다.
• K-이론적 비틀림 분할 함수는 $ Z^\text{K-theoretic} = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{k_{\tilde{i}}+1-l_i})(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{1-j_i})} $ 로 주어지며, 여기서 $ a_i = \min(k_i, k_{\tilde{i}}) $, $ b_i = \max(k_i - k_{\tilde{i}}, 0) $ 이다.
• 아벨 경우 ($N=1$) 에서 분할 함수는 $ Z = \exp\left( \frac{e^{2\pi(r+i\theta)}}{\epsilon} \right) $ 로 줄어들며, 이는 $\mathbb{C}P^0$ 과 로모보-고르모프 불변량의 생성 함수와 일치한다.
• $\beta \to 0$ 근사에서 코homological 한 분할 함수는 $ Z = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{((k_{\tilde{i}}+1-l_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})((1-j_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})} $ 로 복원된다.
• 결과는 비아贝尔 비틀림에 대해 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 의 $J$-함수를 통한 일반화가 가능함을 시사하며, 특히 강한 결합 상수 근사에서 모듈리 공간이 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 로의 헬름홀로픽 매핑 공간이 되는 경우에 해당한다.
• 비틀림된 $U(1)$ 이론에 $N_f$ 개의 플레이어를 가진 경우, 분할 함수는 $\mathbb{C}P^{N_f-1}$ 의 $J$-함수와 관련이 있으며, 이는 생성 함수의 기하학적 해석을 제공한다.