[논문 리뷰] Localization techniques in circle-equivariant KK-theory

Heath Emerson|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원에 등변하는 KK이론에서 국소화 기법을 개발하여, 일부 $\tau$-C*-대수—특히 Cuntz-Krieger 대수—가 부트스트랩 범주에 속해 있음에도 불구하고 $K\sp{\mathbb{T}}$-등가가 되지 않는다는 것을 보여준다. $K\sp{\mathbb{T}}$-이론에서 등변 Lefschetz 고정점 공식을 수립하여, $K\sp{\mathbb{T}}$-자기형사상의 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-값을 가진 추적과 기하학적 일치 사이클의 Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-지표 사이의 연관성을 밝혀낸다.

ABSTRACT

Let T be the circle and A be a T-C*-algebra. Then the T-equivariant K-theory of A is a module over the representation ring of the circle. The latter is a Laurent polynomial ring. Using the support of the module as an invariant, and techniques of Atiyah, Bott and Segal, we deduce that there are examples of T-C*-algebras A not KK^T-equivalent to any commutative T-C*-algebra. This is in contrast to the non-equivariant situation, in which any C*-algebra in the boostrap category is KK-equivalent to a commutative one. Our examples arise from dynamics, and include Cuntz-Krieger algebras with their usual circle actions. Using similar techniques, we also prove an equivariant version of the Lefschetz fixed-point formula. This is a special case of a result with Ralf Meyer that applies to general compact connected groups. The Lefschetz theorem equates the module trace of the module map of the T-equivariant K-theory of a smooth compact manifold induced by an equivariant self-correspondence of the manifold, with an appropriate Kasparov product; the Kasparov product is the T-equivariant index of the Dirac operator on a suitable `coincidence manifold' of the correspondence. Finally, we prove several results related to localization and the Kunneth and universal coefficient theorems, and give an essentially complete description of the T-equivariant K-theory of compact spaces, by combining localization techniques of Atiyah and Segal and results of Paul Baum and Alain Connes for equivariant K-theory of finite group actions.

연구 동기 및 목표

• 특정 $\mathbb{T}$-C*-대수들이 $K\sp{\mathbb{T}}$-등가가 되지 않는 $K\sp{\mathbb{T}}$-이론적 장애를 규명하는 것.
• 고전적 Lefschetz 고정점 이론을 $K\sp{\mathbb{T}}$-이론과 기하학적 대응관계를 통해 등변 설정으로 확장하는 것.
• Cuntz-Krieger 대수 $O_A$에 대한 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$의 지지집합이 임의의 대수적 정수일 수 있음을 보여주어, 가환 $\mathbb{T}$-C*-대수의 지지집합 제약을 위반하는 것.
• 특정 $K\sp{\mathbb{T}}$-자기형사상의 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-값을 가진 추적과 기하학적 사이클의 Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-지표를 동치로 만드는 정확한 공식을 수립하는 것.
• 매끄러운 $\mathbb{T}$-다양체 위에서 고정점 자료와 표현 이론을 활용하여 등변 Lefschetz 수를 계산하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• Atiyah-Bott-Segal 국소화 기법을 사용하여 $\mathrm{Rep}(\mathbb{T}) \cong \mathbb{C}[X,X^{-1}]$ 위의 모듈러 $K\sp{\mathbb{T}}(A)$의 지지집합을 분석하고, 가환성에 대한 장애를 규명한다.
• $K\sp{\mathbb{T}}(A)$를 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-모듈러로 간주하고, 그로부터 $\mathbb{C}^*$ 위의 모듈러의 층을 구성하며, Zariski 국소화를 통해 지지집합을 탐색한다.
• $K\sp{\mathbb{T}}$-자기형사상의 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-값을 가진 추적을 모듈러의 자유 부분으로의 압축을 통해 정의한다.
• 기하학적 대응관계에 $\mathbb{T}$-등변 Baum-Douglas 사이클을 연결하고, 그 $\mathbb{T}$-지표를 계산하여 등변 Lefschetz 정리를 수립한다.
• Atiyah-Singer 지표 정리를 적용하여, 일치 사이클의 $\mathbb{T}$-지표와 자기형사상의 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-추적 사이의 관계를 규명한다.
• $\mathbb{CP}^1$에서의 $\mathbb{T}$-작용을 포함한 예시에서, 자기형사상 연산자의 최소 다항식을 통해 추적을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부트스트랩 범주 내에서 $K\sp{\mathbb{T}}$-이론이 비가환성의 장애를 $K\sp{\mathbb{T}}$-등가성에서 감지할 수 있는가?
• RQ2 Cuntz-Krieger 대수 $O_A$에 대해 표준 $\mathbb{T}$-작용 하에서 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$의 지지집합은 무엇이며, 가환 $\mathbb{T}$-C*-대수와 어떻게 다를까?
• RQ3 고전적 Lefschetz 고정점 공식은 $KK^\mathbb{T}$-이론에서 $\mathbb{T}$-등변 기하학적 대응관계로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 특정 $K\sp{\mathbb{T}}$-자기형사상의 $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-값을 가진 추적과 기하학적 사이클의 Atiyah-Singer $\mathbb{T}$-지표 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 $O_A$의 행렬 $A$의 고유값은 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$의 스펙트럼 자료—$\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-모듈러로서의 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $\mathbb{T}$-공간 $X$에 대해 $K\sp{\mathbb{T}}(C_0(X))$의 지지집합은 항상 단위원 안 또는 전체 $\mathbb{C}^*$에 포함되며, 이는 Cuntz-Krieger 대수에서는 위반된다.
• Cuntz-Krieger 대수 $O_A$에 대해 $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$의 지지집합은 $0$-$1$ 행렬 $A$의 영이 아닌 고유값의 집합이며, 이는 임의의 대수적 정수일 수 있어, 어떤 가환 $\mathbb{T}$-C*-대수와도 $K\sp{\mathbb{T}}$-등가가 아니라는 것을 증명한다.
• 등변 Lefschetz 공식은 $\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(f_*) = \mathrm{ind}_{\mathbb{T}}(\mathrm{Lef}(f))$로 표현되며, 이는 호모로지 불변량을 기하학적 $\mathbb{T}$-지표와 동치로 만든다.
• 매끄러운 $\mathbb{T}$-다양체 $X$에서 고정점이 고립되어 있을 경우, 추적 $\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_\xi)$는 고정점 $P$들에 대해 $\xi_P$의 합과 같다. 여기서 $\xi_P \in \mathbb{C}[X,X^{-1}]$는 $\xi$를 점 $P$에 제한한 것이다.
• $\mathbb{CP}^1$에 표준 $\mathbb{T}$-작용이 있을 경우, $\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_{[H]}^k) = X^k + X^{-k}$로 계산되며, 이는 $\mathrm{K}^0_{\mathbb{T}}(\mathbb{CP}^1)$에서 자기형사상의 최소 다항식을 통해 도출된다.
• $\mathbb{T}$-불변 벡터다발 $E$에 대해 고정점 다양체 $F$ 위에서 $e_X([E]) = \chi(F)\sum_\lambda \dim_{\mathbb{C}}(E_\lambda) f_\lambda$ 공식이 성립하며, 여기서 $f_\lambda$는 고유공간 $E_\lambda$에서 $\mathbb{T}$-작용의 특성이다.