[논문 리뷰] Localization transition on the Random Regular Graph as an unstable tricritical point in a log-normal Rosenzweig-Porter random matrix ensemble

V. E. Kravtsov, Ivan M. Khaymovich외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 07.

Quantum many-body systems참고 문헌 40인용 수 55

한 줄 요약

이 논문은 대칭 매개변수 p를 갖는 로그-정규 로젠츠바익-포터(LN-RP) 랜덤 매트릭스 엔섬블을 도입하여 가우시안 RP와 Lévy 엔섬블 사이를 보간하고, p=1에서 랜덤 레귤러 그래프(Random Regular Graphs)에서의 Anderson 로컬라이제이션에 대응하는 삼차임계점을 식별하며, 다중프랙탈(멀티프렉탈) 상이 그 지점에서 붕괴되지만 로그-정규 꼬리의 잘림에 의해 불안정하다는 것을 보인다.

ABSTRACT

Gaussian Rosenzweig-Porter (GRP) random matrix ensemble is the only one in which the robust multifractal phase and ergodic transition have a status of a mathematical theorem. Yet, this phase in GRP model is oversimplified: the spectrum of fractal dimensions is degenerate and the mini-band in the local spectrum is not multifractal. In this paper we suggest an extension of the GRP model by adopting a logarithmically-normal (LN) distribution of off-diagonal matrix elements. A family of such LN-RP models is parametrized by a symmetry parameter $p$ and it interpolates between the GRP at $p ightarrow 0$ and Levy ensembles at $p ightarrow\infty$. A special point $p=1$ is shown to be the simplest approximation to the Anderson localization model on a random regular graph.We study in detail the phase diagram of LN-RP model and show that $p=1$ is a tricritical point where the multifractal phase first collapses. This collapse is shown to be unstable with respect to the truncation of the log-normal distribution. We suggest a new criteria of stability of the non-ergodic phases and prove that the Anderson transition in LN-RP model is discontinuous at all $p>0$.

연구 동기 및 목표

• 안더슨 로컬라이제이션을 다체계 표본으로 간주하는 프록시로서의 무작위 규칙 그래프에서의 연구를 추진한다.
• RRG 특징을 더 잘 포착하기 위해 오프 대각 원소의 로그-정규 분포로 로젠츠바익-포터 모델을 확장한다.
• LN-RP 위상도표를 매핑하고 다중프랙탈이 붕괴하는 삼차임계점을 위치시킨다.
• 비에르고딕(비에르고딕) 상의 안정성 기준을 개발하고 에르고딕 전이의 견고성을 평가한다.

제안 방법

• 로그-정규 분포의 오프-대각 행렬 원소와 대칭 매개변수 p를 갖는 LN-RP 모델을 정의한다.
• 효과적인 원거리 도약과 두꺼운 꼬리 도약 분포를 통해 LN-RP를 RRG와 연결한다.
• 로컬라이제이션(S1) 및 맷-에르고디시티(S2) 기준을 사용하여 에르고딕, 멀티프랙탈 및 로컬라이즈드 상의 경계를 도출한다.
• 고유함수 통계와 전이 위치를 특징짓기 위해 KL1과 KL2를 사용한다.
• 임계점 gamma_ET와 gamma_AT를 추출하기 위한 유한 크기 스케일링 및 수치 해석을 수행하고 지수 nu1, nu2를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LN-RP의 p와 gamma에 따른 위상도는 가우시안 RP와 Lévy 엔섬블 사이를 어떻게 보간하는가?
• RQ2 p=1에서 삼차임계점이 존재하는가, 그리고 그 근처에서 멀티프랙탈은 안정적인가 아니면 불안정한가?
• RQ3 LN-RP에서 KL1과 KL2는 에르고딕, 로컬라이즈드, 멀티프랙탈 상을 어떻게 감지하는가?
• RQ4 로그-정규 꼬리를 잘림(truncation)하는 것이 비에르고딕성의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 LN-RP에서 로컬라이제이션 및 에르고딕 전이의 유한 크기 스케일링 특성과 임계 지수는 무엇이며, p에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• LN-RP 모델은 에르고딕, 멀티프랙탈, 로컬라이즈드의 세 가지 상을 나타내며, 전이들은 삼차임계점 p=1 및 gamma=4에서 합쳐진다.
• 멀티프랙탈 상은 p=1에서 붕괴하지만 로그-정규 분포 꼬리의 잘림에 의해 이 붕괴가 불안정하다.
• p>=1에서 에르고딕 전이는 취약해지며 꼬리 잘림으로 인해 더 작은 gamma로 옮겨져 멀티프랙탈 상이 다시 등장한다.
• KL1은 로컬라이제이션 전이에 민감하고 KL2는 에르고딕 전이에 민감하며, 뚜렷한 유한 크기 스케일링이 관찰된다.
• p>1에 대해 수치 및 해석적 결과는 도출된 식과 일치하는 gamma_ET 및 gamma_AT 값을 보여주며, 지수 nu1 및 nu2는 p에 따라 달라지며 p>=1일 때 평균장 이론값에 근접한다.
• LN-RP에 대한 Anderson 전이는 제안된 기준과 분석에 따르면 모든 p>0에서 비연속적이다.