[논문 리뷰] Localizations of Groups

Rüdiger Göbel, Saharon Shelah|ArXiv.org|2000. 09. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ZFC(일반화 연속체 가설을 가정하지 않음)에서 유한한 비아벨 단순군이 임의로 큰 기수를 가진 국소화를 갖는다는 것을 입증한다. 조합론적 군론 기법과 코터시옹-프리 아벨 군의 강한 가닥의 존재를 이용하여, 임의의 무한 기수 µ에 대해 λ = µ⁺ 기수를 가진 단순군 H를 구성한다. 이 군 H는 주어진 적합한 군의 가족에 속한 모든 군을 포함하는 유니버설 임bedding을 가지며, 모든 단사 사상은 내부 자명변환이고 모든 국소화는 자명하게 확장 가능하다.

ABSTRACT

A group homomorphism eta:A-> H is called a localization of A if every homomorphism phi:A-> H can be `extended uniquely' to a homomorphism Phi:H-> H in the sense that Phi eta = phi. This categorical concepts, obviously not depending on the notion of groups, extends classical localizations as known for rings and modules. Moreover this setting has interesting applications in homotopy theory. For localizations eta:A-> H of (almost) commutative structures A often H resembles properties of A, e.g. size or satisfying certain systems of equalities and non-equalities. Perhaps the best known example is that localizations of finite abelian groups are finite abelian groups. This is no longer the case if A is a finite (non-abelian) group. Libman showed that A_n-> SO_{n-1}(R) for a natural embedding of the alternating group A_n is a localization if n even and n >= 10 . Answering an immediate question by Dror Farjoun and assuming the generalized continuum hypothesis GCH we recently showed in math.LO/9912191 that any non-abelian finite simple has arbitrarily large localizations. In this paper we want to remove GCH so that the result becomes valid in ordinary set theory. At the same time we want to generalize the statement for a larger class of A 's.

연구 동기 및 목표

• 이전의 국소화에 관한 결과에서 일반화 연속체 가설(GCH)에 대한 의존성을 제거하는 것.
• 단순군을 넘어서 '적합한' 유한군의 더 넓은 범주로 큰 국소화의 존재를 일반화하는 것: 중심이 자명하고 자동형군이 완전한 군.
• 주어진 적합한 군의 가족에 속한 모든 군을 단사 사상에 의해 포함하는 임의의 큰 기수 λ = µ⁺를 가진 군 H를 구성하는 것.
• 모든 단사 사상 H → H가 내부 자명변환임을 보여, 국소화 성질이 유니버설하게 성립함을 보장하는 것.

제안 방법

• 모든 순서수에 따라 인덱싱된 군 Hαj(ε)의 계층에 대한 직접 극한 과정을 통해, 임의의 무한 기수 µ에 대해 기수 λ = µ⁺를 가진 군 H를 구성한다.
• 임베딩의 유일성과 중심자에 대한 통제를 위해, 코터시옹-프리 아벨 군의 강한 가닥 {Ui : i < κ}을 활용한다.
• GCH나 Hart–Laflamme–Shelah의 조합론적 게임에 의존하지 않기 위해, [5]의 큰 강한 가닥에 관한 존재 정리를 활용한다.
• 모델 이론적 블랙박스(Black Box 5.1)를 적용하여, λ의 정적 부분집합 내에서 임베딩과 부분모델을 예측함으로써 유니버설 임베딩 성질을 확보한다.
• 중심자에 대한 조건을 도입: 적합한 군 A의 동형 복사본 A′ ⊆ H에 대해, cHA′는 자명하다. 이는 강한 뚜렷함을 보장한다.
• 모든 단사 사상 ϕ: A → H (A ∈ A)가 어떤 h ∈ H에 의한 코너지에 의해 유도됨을 증명함으로써, 국소화가 유니버설하다는 것을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 비아벨 단순군에 대해 임의로 큰 국소화의 존재는 ZFC에서 일반화 연속체 가설(GCH)을 가정하지 않고도 확보될 수 있는가?
• RQ2 유한 군의 가족이 임의로 큰 기수의 유니버설 국소화를 가질 수 있도록 하기 위해 어떤 구조적 성질을 가져야 하는가?
• RQ3 큰 군 H 내에서 임베딩의 뚜렷함과 자명한 중심자를 어떻게 강제하여 모든 단사 사상이 내부 자명변환임을 보장할 수 있는가?
• RQ4 단순군에서 더 넓은 범주인 '적합한 군'(유한, 자명한 중심, 완전한 자동형군)으로 이 구성 기법을 얼마나 일반화할 수 있는가?
• RQ5 조합론적 집합론적 가정 없이도, 모델 이론적 예측 원리(예: 블랙박스)를 활용해 군론에서 유니버설 국소화를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 무한 기수 µ에 대해, 기수 λ = µ⁺를 가진 단순군 H가 존재하며, 이에 대해 모든 단사 사상 H → H는 내부 자명변환이다.
• 적합한 군의 가족에 속한 군 A는 H에 코너지에 의해 유도되는 단사 사상으로 포함되며, 이러한 군의 서로 다른 두 복사본은 자명하게만 교차한다.
• 적합한 군 A의 동형 복사본 A′ ⊆ H에 대해 중심자는 자명하다. 이는 임베딩의 강한 뚜렷함을 보장한다.
• 이 구성은 GCH와 조합론적 게임을 회피하며, 코터시옹-프리 아벨 군의 강한 가닥의 존재와 모델 이론적 블랙박스에 의존한다.
• 결과적으로, 모든 유한한 비아벨 단순군 A에 대해 ZFC에서 임의로 큰 기수의 국소화가 존재함을 보여, 드로르 파르주운의 질문에 답한다.
• 주요 정리 1.3은 Eilenberg–MacLane 공간 K(A,1)가 ZFC에서 임의의 고유 클래스의 서로 다른 호모토피 유형을 가진 국소화를 지닌다는 것을 확인한다.