[논문 리뷰] Localized Morrey-Campanato Spaces on Metric Measure Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Dongyong Yang외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 26.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 동차 유형의 미터 공간 위에서 국소화된 모레이-카판라토 공간과 그 쌍대 공간을 도입하여, 이들이 국소화된 하르디 공간 및 BMO 유형 공간과 등가임을 증명한다. 또한 슈뢰딩거 연산자에 관련된 반경형 및 파oisson 최대 연산자, 그리고 리틀우드-파일스 g-함수의 유계성을 이들 공간에서 증명한다. 특히 유클리드 공간, 하이젠베르크 군, 그리고 역 헬더 조건을 만족하는 포텐셜을 가진 비아벨 리 군 위에서의 응용을 다룬다.

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss and ${\mathcal D}$ a collection of balls in $\cx$. The authors introduce the localized atomic Hardy space $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $p\in (0,1]$ and $q\in[1,\infty]\cap(p,\infty]$, the localized Morrey-Campanato space ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and the localized Morrey-Campanato-BLO space $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $\az\in{\mathbb R}$ and $p\in(0, \infty)$ and establish their basic properties including $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})=H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and several equivalent characterizations for ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\wz{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Especially, the authors prove that when $p\in(0,1]$, the dual space of $H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ is ${\mathcal E}^{1/p-1, 1}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Let $ρ$ be an admissible function modeled on the known auxiliary function determined by the Schrödinger operator. Denote the spaces ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$, respectively, by ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$, when ${\mathcal D}$ is determined by $ρ$. The authors then obtain the boundedness from ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ to $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ of the radial and the Poisson semigroup maximal functions and the Littlewood-Paley $g$-function which are defined via kernels modeled on the semigroup generated by the Schrödinger operator.

연구 동기 및 목표

• 미터 공간 위의 동차 유형에서 반대칭 쌍대 조건을 필요로 하지 않고 모레이-카판라토 이론을 국소화된 공간으로 확장한다.
• 국소화된 하르디 공간과 모레이-카판라토 공간 사이의 쌍대성 관계를 수립하여 고전 결과를 국소화된 설정으로 일반화한다.
• 국소화된 모레이-카판라토 공간에서 슈뢰딩거 연관 연산자—반경형 최대, 파oisson 최대, g-함수—의 유계성을 분석한다.
• 국소화된 모레이-카판라토 공간에서의 결과를 유클리드 공간, 하이젠베르크 군, 비아벨 리 군 위의 슈뢰딩거 및 열화된 슈뢰딩거 연산자에 적용한다.
• 잠재 이론에서 유도된 적합한 함수를 사용하여 이전의 BMO 유형 및 하르디 공간 결과를 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• p ∈ (0,1], q ∈ [1,∞] ∩ (p,∞], α ∈ ℝ에 대해 국소화된 원자 하르디 공간 H^{p,q}_D(X), 국소화된 모레이-카판라토 공간 E^{α,p}_D(X), 국소화된 모레이-카판라토-BLO 공간 \tilde{E}^{α,p}_D(X)를 정의한다.
• H^{p,q}_D(X) = H^{p,∞}_D(X)와 같은 핵심 항등식 및 쌍대 공간 특성화: (H^{p,∞}_D(X))^* = E^{1/p - 1, 1}_D(X)를 p ∈ (0,1]에 대해 증명한다.
• 역 헬더 클래스에 속하는 포텐셜을 가진 슈뢰딩거 연산자에서 유도된 보조 함수를 바탕으로 한 적합한 함수 ρ를 도입한다.
• 슈뢰딩거 연산자 L = -Δ + V에 의해 생성되는 반군 {e^{-tL}}에서 유도된 커널을 통해 반경형 최대 연산자 T^+, 파oisson 최대 연산자 P^+, 그리고 리틀우드-파일스 g-함수를 정의한다.
• 열핵 추정과 캘러존-지그문트 이론을 사용하여 T^+ 및 P^+가 E^{α,p}_ρ(X)에서 \tilde{E}^{α,p}_ρ(X)로의 유계성을 증명한다.
• p ∈ (1,∞)에 대해 L^p(X) 위에서 g-함수의 L^p-유계성을 확립하고, [g(f)]^2 ∈ \tilde{E}^{2α,p/2}_ρ(X)임을 증명하며, norm 제어 \| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2α,p/2}_ρ} ≤ C \|f\|^2_{E^{α,p}_ρ}를 얻는다. 이는 g(f) ∈ \tilde{E}^{α,p}_ρ(X)임을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반대칭 쌍대 조건을 요구하지 않는 미터 공간에서 모레이-카판라토 공간을 어떻게 국소화할 수 있는가?
• RQ2 p ∈ (0,1]에 대해 국소화된 하르디 공간 H^{p,∞}_D(X)의 쌍대 공간은 무엇인가?
• RQ3 국소화된 모레이-카판라토 공간 E^{α,p}_D(X)와 국소화된 BLO 공간 \tilde{E}^{α,p}_D(X)가 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 슈뢰딩거 연산자와 관련된 반경형 및 파oisson 최대 연산자의 국소화된 모레이-카판라토 공간에서의 유계성 행동은 어떠한가?
• RQ5 리틀우드-파일스 g-함수의 행동은 어떠한가? 그리고 그 제곱은 스케일된 모레이-카판라토 공간에 사상되는가?

주요 결과

• α > 0 이고 p ∈ [1,∞) 이면, \tilde{E}^{α,p}_ρ(X) = E^{α,p}_ρ(X) = \text{Lip}_D(α; X)이며, 국소적 리프시츠 공간과의 등치성을 증명한다.
• p ∈ (0,1]에 대해 H^{p,∞}_D(X)의 쌍대 공간은 E^{1/p - 1, 1}_D(X)이며, 모레이-카판라토 이론의 고전적 쌍대성 결과를 국소화된 설정으로 확장한다.
• 하이젠베르크 군에서 α < min{1/(2n+2) - 1/(2q), 1/(3n+3) - 1/(3q)} 이면, 반경형 최대 연산자 T^+ 및 파oisson 최대 연산자 P^+는 E^{α,p}_ρ(X)에서 \tilde{E}^{α,p}_ρ(X)로 유계이다.
• f ∈ E^{α,p}_ρ(X) 이면, g-함수의 제곱은 \| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2α,p/2}_ρ} ≤ C \|f\|^2_{E^{α,p}_ρ} 를 만족하며, 이때 C는 f에 독립적이다. 이는 g(f) ∈ \tilde{E}^{α,p}_ρ(X)임을 암시한다.
• 동차 차원 D를 가진 연결되고 단순연결된 비아벨 리 군에서, α < 1/D - 1/(2q) 및 α < 2/(3D) - 1/(3q) 이면 각각 유계성이 성립한다.
• α = 0일 때 BMO_ρ(X) 및 BLO_ρ(X) 위에서의 알려진 유계성 결과를 일반화하며, [32]의 이전 결과를 특수한 경우로 복원한다.