[논문 리뷰] Localizing Volatilities

Marc Atlan|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 13.

Market Dynamics and Volatility인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Gyöngy(1986)의 모의 확산 정리(의미하는 바는 확산 과정의 한계 분포를 모의하는 데 사용되는 수학적 정리)를 활용하여, 확률적 변동성 모형과 확률적 이자율을 갖는 모형들 사이의 엄밀한 연결을 수립한다. 이는 Bessel 기반의 확률적 변동성 모형에서 국소 변동성의 명시적 공식을 유도하고, Dupire의 국소 변동성 프레임워크를 이자율-변동성 하이브리드 설정으로 확장하며, 국소 변동성 표면이 시장의 옵션 가격이 아닌 확률적 변동성 모형에서 안정적으로 구성될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We propose two main applications of Gyöngy (1986)'s construction of inhomogeneous Markovian stochastic differential equations that mimick the one-dimensional marginals of continuous Itô processes. Firstly, we prove Dupire (1994) and Derman and Kani (1994)'s result. We then present Bessel-based stochastic volatility models in which this relation is used to compute analytical formulas for the local volatility. Secondly, we use these mimicking techniques to extend the well-known local volatility results to a stochastic interest rates framework.

연구 동기 및 목표

• Dupire(1994)와 Derman 및 Kani(1994)의 국소 변동성 프레임워크를 확률적 이자율을 갖는 모형으로 확장하기 위해.
• 스케일링 및 조건부 성질을 활용하여 Bessel 기반의 확률적 변동성 모형에서 국소 변동성 표면을 해석적으로 도출할 수 있음을 보여주기 위해.
• 시장에서 추정된 국소 변동성 표면이 수치적으로 불안정한 것으로 알려져 있으므로, 이에 대한 안정적인 모형 기반 대안을 마련하기 위해.
• 위험 중립 측도 하에서 하이브리드 이자율-변동성 모형에서 국소 변동성과 확률적 변동성 간의 관계를 체계화하기 위해.
• 주식-변동성 상관관계와 하이브리드 상관관계 리스크가 국소 변동성 표면에 미치는 영향을 조사하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 Itô 과정의 일변도 마진 분포를 모의하는 비균일한 마코프 SDE를 구성하기 위해 Gyöngy(1986)의 정리를 적용한다.
• Bessel 과정과 그 스케일링 성질을 활용하여 확률적 변동성 모형에서 통합 변동성과 주가의 공동 분포를 유도한다.
• 국소 변동성 함수를 T-포워드 측도 하에서 순간 변동성의 조건부 기대값으로 유도한다: $\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$.
• T-포워드 측도 하에서 포워드 수익률 동적을 적용하여, 포워드 가격의 국소 변동성이 확률적 모형에서의 순간 변동성의 조건부 기대값과 일치함을 보여준다.
• Lévy 영역 공식과 Bessel 과정의 라플라스 변환을 활용하여 통합 변동성과 주가의 특성 함수를 계산한다.
• 변동성 확산이 Bessel 과정의 결정론적 시간 및 공간 변환으로 표현될 수 있는 일반적 프레임워크를 유도하며, 이는 해석적 접근 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 이자율을 갖는 확률적 변동성 모형에서 주가와 변동성의 공동 분포를 재현할 수 있는 결정론적 이자율을 갖는 국소 변동성 모형을 구성할 수 있는가?
• RQ2 주식과 그 확률적 변동성 간의 상관계수가 국소 변동성 표면의 형태에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 모의 확산 정리를 활용하여 Bessel 기반의 확률적 변동성 모형에서 국소 변동성의 해석적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 확률적 이자율 설정에서 국소 변동성 표면을 校정할 때 이자율과 변동성 간의 하이브리드 상관관계 리스크는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시장 옵션 가격이 아닌 확률적 변동성 모형에서 안정적인 국소 변동성 표면을 구성할 수 있는가? 그리고 그 장점들은 무엇인가?

주요 결과

• 결정론적 이자율 모형에서의 국소 변동성 표면는 T-포워드 측도 하에서 확률적 이자율을 갖는 확률적 변동성 모형에서의 순간 변동성의 조건부 기대값으로 유도될 수 있다.
• 공식 $\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$ 은 하이브리드 모형에서 국소 변동성의 폐쇄형 표현을 제공한다.
• 시장 옵션 가격에서 Dupire PDE를 통해 도출된 국소 변동성 표면보다, 확률적 변동성 모형에서 유도된 국소 변동성 표면가 더 매끄럽고 안정적이다.
• Bessel 과정은 스케일링 및 조건부 성질 덕분에 해석적 계산이 가능하므로, 국소 변동성 계산이 수월한 확률적 변동성 모형의 유용한 클래스를 제공한다.
• 이 프레임워크는 주식-변동성 동적의 독립적 및 상관관계 있는 경우를 모두 수용할 수 있으며, 상관계수 파rameter $\rho$ 는 국소 변동성 표면의 스케일에 직접적인 영향을 미친다.
• 이 논문은 이자율이 확률적일 경우 하이브리드 상관관계 리스크(하이브리드 상관관계)를 국소 변동성 표면에 고려해야 한다는 점을 입증하며, 이는 하이브리드 리스크에 대한 시장 프리미엄을 암시한다.