[논문 리뷰] Locally compact groups whose ergodic or minimal actions are all free

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비단순, 국소적으로 컴act한 군 중에서 비자명한 불변 랜덤 부분군(IRS) 또는 균일하게 재등장하는 부분군(URS)이 존재하지 않는 첫 번째 알려진 예를 구성한다. 이중근사 기법과 국소체 및 무한 행렬 위의 군 작용을 이용하여, 일부 조각별 애파인 호메오모르피즘 군과 무한 행렬 군이 비자명한 IRS나 URS를 갖지 않음을 보여주며, 국소적으로 컴팩트 설정에서 자유 작용에 관한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We construct locally compact groups with no non-trivial Invariant Random Subgroups and no non-trivial Uniformly Recurrent Subgroups.

연구 동기 및 목표

• 비단순, 국소적으로 컴팩트 군 중에서 비자명한 불변 랜덤 부분군(IRS)이 존재하지 않는 군을 구성하는 것.
• 비단순, 국소적으로 컴팩트 군 중에서 비자명한 균일하게 재등장하는 부분군(URS)이 존재하지 않는 군을 구성하는 것.
• 이산적 설정 외의 환경에서 이러한 군의 존재성에 관한 열린 질문을 해결하는 것.
• 이러한 군의 모든 에르고딕 및 최소 작용이 본질적으로 자유이거나 위상적으로 자유임을 확립하는 것.

제안 방법

• p진수 체 위의 조각별 애파인 호메오모르피즘 군인 $\mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$의 부분군으로서 군을 구성하는 것.
• 중첩된 열린 부분군 $G_n$과 정규 컴팩트 부분군 $U_n$을 통한 이중근사 기법을 사용하며, $\bigcap U_n = 1$을 만족하는 조건을 갖는다.
• 코로나리 3.18과 정리 3.24를 적용하여, 몫군 $G_n/U_n$이 비자명한 IRS나 URS를 갖지 않으면서도 전체 군 $G$ 역시 비자명한 IRS나 URS를 갖지 않음을 보이는 것.
• $\mathrm{Alt}_f(\Omega)$와 $\mathrm{SL}(d,\mathbb{Q})$ ($d \geq 3$)에 대한 기존 결과를 활용하여, 이들 군이 비자명한 IRS를 갖지 않음을 이용하는 것.
• 유한 볼륨 부분군은 이러한 군에서 몫군으로의 전사 사상이 존재하므로, 밀도성에 의해 전체 군과 일치함을 유도하는 것.
• 작용과 IRS/URS 사이의 안정자 대응을 적용하여, 에르고딕 및 최소 작용이 자유임을 결론짓는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단순, 국소적으로 컴팩트 군 중에서 모든 에르고딕 측도 보존 작용이 본질적으로 자유인 군이 존재하는가?
• RQ2 국소적으로 컴팩트 군 중에서 비자명한 균일하게 재등장하는 부분군(URS)이 존재하지 않는 군을 구성할 수 있는가?
• RQ3 비단순, 컴팩트 생성된 국소적으로 컴팩트 군 중에서 비자명한 IRS나 URS가 존재하지 않는 군이 존재하는가?
• RQ4 이중근사 기법을 사용하여 IRS 및 URS 스펙트럼이 자명한 군을 구성할 수 있는가?
• RQ5 지정된 국소 작용을 갖는 트리나 무한 행렬 위의 작용을 하는 군은 비자명한 IRS가 없는 예를 제공하는가?

주요 결과

• 이중근사를 통해 구성된 군 $G \leq \mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$는 비자명한 IRS를 갖지 않으며, 이는 모든 이러한 측도가 $\delta_1$과 $\delta_G$의 볼록 조합임을 의미한다.
• 동일한 군 $G$는 비자명한 URS도 갖지 않으며, 이는 최소 작용이 자명하거나 위상적으로 자유임을 의미한다.
• $d \geq 3$인 경우, 군 $\mathrm{PSL}(d,\mathbb{Q})$는 비자명한 IRS를 갖지 않으며, 이는 추가적인 예를 구성하는 데 사용된다.
• 다음 조건을 만족하는 경우, 군 $G = \langle \mathrm{SL}(\infty,\mathbb{Q}) \cup \prod D_n \rangle$ ($D_n \leq \mathrm{SL}(k_n,\mathbb{Q})$)는 비자명한 IRS를 갖지 않는다: $d_n$이 무한히 자주 홀수이다.
• 구성된 군의 임의의 유한 볼륨 부분군은 밀도적이며, 따라서 전체 군과 일치하므로, 진부한 유한 볼륨 부분군이 존재하지 않는다.
• 결과적으로, 구성된 군의 모든 에르고딕 및 최소 작용이 본질적으로 자유이거나 위상적으로 자유임을 확인한다.