[논문 리뷰] Locally Decodable/Correctable Codes for Insertions and Deletions

Block, Alexander R., Blocki, Jeremiah외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 24.

DNA and Biological Computing참고 문헌 35인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 임의의 인서션/디레터션(InsDel) 코드의 리스트 디코딩 가능성을 분석하고, 효율적인 디코딩을 갖춘 명시적 q진 InsDel 코드를 구성함으로써 인서션/디레터션 오류에 대한 리스트 디코딩 이론을 발전시킨다. 임의의 InsDel 코드가 삽입 수가 삭제 수를 초과하고 대규모 알파벳을 사용할 경우 싱글턴 경계를 초월할 수 있음을 보이며, 작은 알파벳에 대해서는 지아블로프 유형의 경계를 수립함으로써, 작은 q에 대해 기존 존슨 유형 경계를 초월하는 효율적인 리스트 디코딩을 가능하게 한다. 이는 이분 코드를 포함한 작은 알파벳의 경우에도 적용된다.

ABSTRACT

Insdel errors occur in communication systems caused by the loss of positional information of the message. Since the work by Guruswami and Wang, there have been some further investigations on the list decoding of insertion codes, deletion codes and insdel codes. However, unlike classical Hamming metric or even rank-metric, there are still many unsolved problems on list decoding of insdel codes. The contributions of this paper mainly consist of two parts. Firstly, we analyze the list decodability of random insdel codes. We show that list decoding of random insdel codes surpasses the Singleton bound when there are more insertion errors than deletion errors and the alphabet size is sufficiently large. Furthermore, our results reveal the existence of an insdel code that can be list decoded against insdel errors beyond its minimum insdel distance while still having polynomial list size. This provides a more complete picture on the list decodability of insdel codes when both insertion and deletion errors happen. Secondly, we construct a family of explicit insdel codes with efficient list decoding algorithm. As a result, we derive a Zyablov-type bound for insdel errors. Recently, after our results appeared, Guruswami et al. provided a complete solution for another open problem on list decoding of insdel codes. In contrast to the problems we considered, they provided a region containing all possible insertion and deletion errors that are still list decodable by some q-ary insdel codes of non-zero rate. More specifically, for a fixed number of insertion and deletion errors, while our paper focuses on maximizing the rate of a code that is list decodable against that amount of insertion and deletion errors, Guruswami et al. focuses on finding out the existence of a code with asymptotically non-zero rate which is list decodable against this amount of insertion and deletion errors.

연구 동기 및 목표

• 삽입과 삭제가 동시에 발생할 경우, 특히 그러한 상황에서 임의의 InsDel 코드의 리스트 디코딩 가능성을 이해하는 것.
• 작은 알파벳 크기, 특히 q=2인 경우에도 효율적인 리스트 디코딩 알고리즘을 갖춘 명시적 InsDel 코드를 구성하는 것.
• 기존 존슨 유형 경계를 초월하는, InsDel 코드에 대한 지아블로프 유형 경계를 유도하는 것.
• 특히 삽입과 삭제가 균형 잡히지 않은 경우, InsDel 거리 체계에서 리스트 디코딩 가능성을 더 완전한 그림으로 제시하는 것.

제안 방법

• 특화된 조합적 경계를 사용하여 InsDel 구의 크기를 분석함으로써, 임의의 코드의 리스트 디코딩 가능성을 추정한다.
• 외부 리스트 복원 가능 코드와 내부 InsDel 코드를 조합하여, 철저히 설계된 색인 체계를 갖춘 복합 코드를 구성한다.
• 고정된 리스트 크기를 갖는 고율과 리스트 복원 가능성을 확보하기 위해 접힌 리드-솔로몬 코드를 외부 코드로 사용한다.
• 계산 복잡도를 감소시켜 효율적인 리스트 디코딩을 가능하게 하기 위해 확률적 색인 체계를 활용한다.
• 복합 구조에서의 비율과 오류 비율 간의 상호 교환 관계를 최적화함으로써 지아블로프 유형 경계를 도출한다.
• 수정된 존슨 유형 경계 분석을 적용하여, 작은 q에 대해 기존 존슨 경계를 초월하는 리스트 디코딩 가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 InsDel 코드가 삽입 수가 삭제 수를 초과하고 알파벳 크기가 충분히 클 경우 싱글턴 경계를 초월하는 리스트 디코딩 가능성을 갖출 수 있으며, 이러한 조건은 무엇인가?
• RQ2 q=2와 같이 작은 알파벳 크기의 경우에도 효율적인 리스트 디코딩이 가능한 명시적 InsDel 코드를 구성할 수 있는 구축 방법이 존재하는가?
• RQ3 삽입과 삭제가 균형 잡히지 않은 경우, 명시적 InsDel 코드가 달성할 수 있는 최대 리스트 디코딩 반경은 비율과 오류 비율 측면에서 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ4 삽입/삭제 거리 체계에서의 임의의 InsDel 코드의 리스트 디코딩 가능성은 히브미트 또는 랭크 거리 체계에서의 임의의 코드와 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ5 기존 존슨 유형 경계를 초월하는, InsDel 코드에 대한 지아블로프 유형 경계를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 삽입 수가 삭제 수를 초과하고 알파벳 크기가 충분히 클 경우, 임의의 InsDel 코드는 리스트 디코딩 가능성이 싱글턴 경계를 초월할 수 있다.
• 임의의 InsDel 코드의 리스트 디코딩 가능성을 통해, 최소 InsDel 거리보다 더 큰 리스트 디코딩 반경을 갖는 코드의 존재가 드러나며, 이는 히브미트 또는 랭크 거리 체계의 코드에서는 관찰되지 않는 현상이다.
• 오직 삭제 오류만 존재하는 이진 코드의 경우, 리스트 디코딩 반경은 구루스와미와 왕 [13]의 결과와 일치함을 확인하여 이전 연구와의 일관성을 입증한다.
• 구성된 명시적 q진 InsDel 코드는 리스트 디코딩 반경이 존슨 유형 경계를 초월하며, 특히 작은 q, 이분 코드를 포함한 이전 구조에 비해 향상된 성능을 보인다.
• 작은 알파벳에 대해 InsDel 코드에 대한 지아블로프 유형 경계를 수립하였으며, 이는 비율 R인 코드가 τN의 오류에 대해 리스트 크기 NO(1/ϵ)로 리스트 디코딩 가능함을 보여준다. 여기서 ϵ>0이다.
• 디코딩 알고리즘이 다항식 시간 내에 수행되며, q=2인 경우에도 효과적으로 작동하여, 이분 InsDel 코드에 대해 비트리버스 리스트 디코딩 반경을 갖는 첫 번째 명시적 구성법을 제공한다.