[논문 리뷰] Locally homogeneous triples. Extension theorems for parallel sections and parallel bundle isomorphisms

Arash Bazdar|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유니버설 커버를 통한 분류로 귀환함으로써, 리만 다양체, 주다발, 접속으로 이루어진 국소적으로 동질적인 삼중체의 분류 정리를 수립한다. 핵심 기여는 수평 상승을 통한 평행 다발 동형사상의 특성화와 관련 다발의 평행 섹션과 다발 동형사상 사이의 일대일 대응으로, 이는 리만 곡면 위의 이러한 구조에 대한 모듈리 공간을 구성하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a differentiable manifold and $K$ a Lie group. A locally homogeneous triple with structure group $K$ on $M$ is a triple $(g, P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$, where $p:P\ o M$ is a principal $K$-bundle on $M$, $g$ is Riemannian metric on $M$, and $A$ is connection on $P$ such that the following locally homogeneity condition is satisfied: for every two points $x$, $x'\\in M$ there exists an isometry $\\varphi:U\ o U'$ between open neighborhoods $U\ i x$, $U'\ i x'$ with $\\varphi(x)=x'$, and a $\\varphi$-covering bundle isomorphism $\\Phi:P_U\ o P_{U'}$ such that $\\Phi^*(A_{U'})=A_U$. If $(g,P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$ is a locally homogeneous triple on $M$, one can endow the total space $P$ with a locally homogeneous Riemannian metric such that $p$ becomes a Riemannian submersion and $K$ acts by isometries. Therefore the classification of locally homogeneous triples on a given manifold $M$ is an important problem: it gives an interesting class of geometric manifolds which are fibre bundles over $M$. In this article we will prove a classification theorem for locally homogeneous triples. We will use this result in a future article in order to describe explicitly moduli spaces of locally homogeneous triples on Riemann surfaces.

연구 동기 및 목표

• 다양체 M 위의 국소적으로 동질적인 삼중체를 분류함으로써, 국소적으로 동질적인 리만 계량과 접속을 일반화한다.
• 다양체 M 위의 국소적으로 동질적인 기하학적 구조의 분류 문제를 그 유니버설 커버 위의 전적으로 동질적인 구조의 분류 문제로 환원한다.
• 국소적으로 동질적인 삼중체의 맥락에서 평행 섹션과 평행 다발 동형사상에 대한 확장 정리를 수립한다.
• 리만 곡면에서 구조군이 SU(2)와 PU(2)인 이러한 삼중체의 모듈리 공간을 명시적으로 묘사하는 데 기초를 마련한다.

제안 방법

• 다양체 M의 유니버설 커버 ˜M을 사용하여 국소적으로 동질적인 삼중체를 전적으로 동질적인 구조로 올린다.
• 주다발 K의 총공간 P에 리만 계량을 구성함으로써, 사영 p:P→M가 K의 등급 이sov메트리 작용을 갖는 리만 부분사상이 되도록 한다.
• 연관 다발 I(P,P′)의 섹션과 다발 동형사상 사이의 대응을 (K×K)-등급 매핑을 통해 특성화함으로써 평행 섹션을 적용한다.
• 연결을 보존하는 동형사상과 연결 Γ^{A×A′}에 대해 평행한 섹션을 연결하는 일대일 대응 S:Hom_id(P,P′)→Γ(M,I(P,P′))를 수립한다.
• 다발 동형사상 Φ가 Φ*(A′)=A를 만족함과 동시에 관련 섹션 σ^Φ가 I(P,P′)의 연결 Γ^{A×A′}에 대해 평행함과 동치임을 증명한다.
• Φ의 미분이 수평 부분공간을 수평 부분공간으로 보냄과 동시에 σ^Φ의 도함수가 P×_M P′의 수평 분해에서 0이 되는 조건을 유도함으로써 연결 보존 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체 M 위의 국소적으로 동질적인 삼중체는 어떻게 그 유니버설 커버의 기하학을 통해 분류할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 동질적인 구조의 맥락에서, 주다발 간의 다발 동형사상이 연결을 보존하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 연관 다발 I(P,P′)의 평행 섹션은 어떻게 연결을 보존하는 다발 동형사상을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 주다발의 동형사상과 다발 I(P,P′)의 섹션 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ5 평행 섹션과 동형사상에 대한 확장 정리는 어떻게 국소적으로 동질적인 삼중체의 모듈리 공간을 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• M 위의 국소적으로 동질적인 삼중체 (g,P→M,A)는 총공간 P 위에 전적으로 동질적인 리만 계량으로 올라가며, 이때 p는 리만 부분사상이 되고 K는 등급 이sov메트리 작용을 갖는다.
• 정체성 커버링 K-다발 동형사상의 공간과 연관 다발 I(P,P′)의 섹션의 공간 사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.
• 다발 동형사상 Φ가 Φ*(A′)=A를 만족함과 동시에 관련 섹션 σ^Φ가 I(P,P′)의 연결 Γ^{A×A′}에 대해 평행함과 동치이다.
• Φ의 미분이 수평 부분공간을 수평 부분공간으로 보냄과 동시에 σ^Φ의 도함수가 P×_M P′의 수평 분해에서 0이 되는 조건을 유도함으로써 연결 보존 조건을 유도한다.
• σ^Φ_*|_H = 0 조건은 Φ가 연결 A′를 보존하기 위해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 이 이론은 유니버설 커버 ˜M 위의 호모제너스 G-불변 구조와 호환되는 커버링 군 작용을 갖는 구조의 분류로 환원함으로써 국소적으로 동질적인 삼중체의 체계적인 분류를 가능하게 한다.