[논문 리뷰] Locally Lagrangian Symplectic and Poisson Manifolds

Izu Vaisman|ArXiv.org|2000. 08. 14.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 라그랑주 구조를 가진 심플렉틱(manifold)과 파울리 구조를 가진 심플렉틱(manifold)을 도입하여, 라그랑주 역학의 구조를 국소적으로 정의된 라그랑주 함수를 통해 전역적이고 가능성이 있는 콪 pact한 다양체로 일반화한다. 이는 탄성 구조 S를 사용한 좌표 불변 특성화를 통해 국소적으로 라그랑주 심플렉틱(manifold)을 특성화하며, 국소적으로 라그랑주 파울리(manifold)의 심플렉틱 잎새가 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 구조를 상속받음을 보여주고, 탄성 다발과 다발의 직적의 경우에 적용한다.

ABSTRACT

We discuss symplectic manifolds where, locally, the structure is that encountered in Lagrangian dynamics. Exemples and characteristic properties are given. Then, we refer to the computation of the Maslov classes of a Lagrangian submanifold. Finally, we indicate the generalization of this type of structures to Poisson manifolds.

연구 동기 및 목표

• 탄성 다발 위의 전역적 라그랑주 심플렉틱 구조의 일반화로서 국소적으로 라그랑주 심플렉틱(l.L.s.) 다양체를 정의하고 특성화하는 것.
• 탄성 구조 S와 함께 일관된 국소적으로 라그랑주 파울리(l.L.P.) 구조를 도입함으로써 프레임워크를 파울리 다양체로 확장하는 것.
• 국소적으로 라그랑주 파울리 다양체의 심플렉틱 잎새가 자체적으로 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 다양체임을 보여주는 것.
• 모든 벡터장 X,Y에 대해 ω(X,SY) = ω(Y,SX)를 만족하는 조건을 사용하여 l.L.s. 다양체의 좌표 불변 특성화를 제공하는 것.
• 특히 T^{(2)}N에서 전역적으로 라그랑주 파울리(g.L.P.) 구조의 존재성을 탐구하는 것, 특히 탄성 다발의 직적에 대해.

제안 방법

• 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 다양체를, 탄성 구조 S와 심플렉틱 형식 ω를 가진 다양체 M로 정의하며, 국소 라그랑주 함수 L에 대해 ω = d(θ_L)이고 θ_L = dL∘S로 국소적으로 표현 가능하다고 보는 것.
• 탄성 구조 S의 적분 가능성 보장을 위해 Nijenhuis 텐서 조건 N_S = 0를 사용하며, 이는 수직 폴리케이션 V = im S = ker S를 정의한다.
• 모든 X,Y ∈ Γ(TM)에 대해 ω(X,SY) = ω(Y,SX) 조건을 통해 l.L.s. 다양체를 특성화하며, 이는 수직 분포가 ω에 대해 라그랑주임을 보장한다.
• R^{2n}에서 Z^n × Z^n 작용에 의한 몫공간을 사용하여 예를 구성하며, 예를 들어 토러스 T^{2n}를 통해 전역 라그랑주 함수로부터 콱 pact한 l.L.s. 다양체를 얻는다.
• S와 파울리 이중벡터 P의 일관성 조건을 요구함으로써 파울리 구조로 일반화하며, 조건 (4.1)–(4.4)를 도출하며, P(dq^i, du^j) = P(dq^j, du^i) 포함.
• P가 P = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^j 형태이면서 P^{ij}가 대칭이고 A^{ij}가 반대칭이면, M = TN ×_f TN는 l.L.P. 구조를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 다양체 M가 탄성 다발 위의 라그랑주 역학의 심플렉틱 구조를 국소적으로 모델링하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ2 비정확한 심플렉틱 형식을 가진 콱 pact한 다양체에서 전역적으로 라그랑주 심플렉틱 구조를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 탄성 구조 S는 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 다양체를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 일관된 탄성 구조를 지닌 경우, 파울리 다양체의 심플렉틱 잎새는 어떻게 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 구조를 상속하는가?
• RQ5 탄성 다발 TN 위의 파울리 이중벡터장이 전역적으로 라그랑주 파울리 구조를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 심플렉틱 다양체 M가 국소적으로 라그랑주임은 그 심플렉틱 형식 ω가 모든 벡터장 X,Y에 대해 ω(X,SY) = ω(Y,SX)를 만족할 때이고, 이는 S에 의해 정의된 수직 폴리케이션을 라그랑주로 보장한다.
• 국소적으로 라그랑주 파울리 다양체의 심플렉틱 잎새는 자체적으로 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 다양체이며, 환경의 파울리 구조로부터 그 구조를 상속받는다.
• 국소적으로 라그랑주 심플렉틱 다양체의 콱 pact한 예로는 토러스 T^{2n}가 있으며, 이는 R^{2n}을 격자 작용에 의해 몫을 취한 것으로, 라그랑주 함수가 닫힌 1형식과 함수에 의해 이동할 때 변형된다.
• P가 P = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^j 형태이면서 P^{ij}가 대칭이고 A^{ij}가 반대칭이면, M = TN ×_f TN는 국소적으로 라그랑주 파울리 구조를 가진다.
• M = TN ×_f TN 위의 파울리 구조의 각 잎새에서 심플렉틱 구조는 전역적으로 Λ_{ij}(x) dz^i ∧ dy^j로 주어지며, 전역 라그랑주 함수 L = Λ_{ij}(x) z^i y^j를 가지므로 (M,P,S)는 전역적으로 라그랑주 파울리 다양체이다.
• TN 위에서 파울리 이중벡터 P는 오직 P(df,dg)=0를 만족하는 (즉, 0-관련된) 경우에만 l.L.P. 구조를 유도하며, P(dq^i,du^j) = P(dq^j,du^i) 조건을 만족해야 하며, 이는 식 (4.14)와 랭크 조건 rank P = 2 rank(P^{ij})를 유도한다.