[논문 리뷰] Locally precompact groups: (Local) realcompactness and connectedness

W. W. Comfort, Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 13.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 49인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다이우돈느 완비성, 실완비성, 연결성과 같은 핵심 위상적 성질을 바탕으로 국소적으로 전콤팩트 위상군을 분류하며, 아벨 국소적으로 전콤팩트 군이 위상군의 준성분이 되는 것과 전콤팩트적으로 생성되는 것 사이의 이항조건을 확립한다. 핵심 결과는 이러한 군이 국소적으로 허위완비성 군의 연결성 성분으로서 나타나는지의 여부를 내재된 대수적-위상적 조건으로 특성화하는 것이다.

ABSTRACT

A theorem of A. Weil asserts that a topological group embeds as a (dense) subgroup of a locally compact group if and only if it contains a non-empty precompact open set; such groups are called locally precompact. Within the class of locally precompact groups, the authors classify those groups with the following topological properties: Dieudonné completeness; local realcompactness; realcompactness; hereditary realcompactness; connectedness; local connectedness; zero-dimensionality. They also prove that an abelian locally precompact group occurs as the quasi-component of a topological group if and only if it is precompactly generated, that is, it is generated algebraically by a precompact subset.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 전콤팩트 위상군을 실완비성, 다이우돈느 완비성, 계승 실완비성 등의 위상적 성질에 따라 분류하는 것.
• 국소적으로 전콤팩트 군이 국소적으로 연결되거나 연결되는 조건을 특정하는 것, 특히 그 완비화와의 관계에서.
• 아벨 국소적으로 전콤팩트 군이 더 큰 위상군의 준성분(또는 연결성분)으로서 실현될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 국소적으로 허위완비성 군의 맥락에서 전콤팩트적으로 생성된 아벨 군의 내재된(대수적-위상적) 특성화를 수립하는 것.
• 완비화와 $G_\tau$-위상 기법을 사용하여, 비순환성과 연결성을 갖는 전콤팩트 아벨 군에 대한 기존 결과를 일반 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 전콤팩트 군 $G$의 Weil 완비화 $\tilde{G}$를 활용하여 $G$의 위상적 성질과 그 완비화의 성질을 연결한다.
• $G_\tau$-위상과 $G_\tau$-밀도를 적용하여, 닫힘과 컴acts이화 성질을 통해 다이우돈느 완비성과 실완비성을 특성화한다.
• Hewitt 실완비화 $\nu X$와 Stone-Čech 컴acts이화 $\beta X$를 사용하여 위상군에서의 허위완비성과 $G_\tau$-밀도를 분석한다.
• 환원형 사상 $\theta: \bbZ_p^{\rho \times \nu} \to E = C/A$를 사용하여 $G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times_E C$라는 피복곱 군을 구성하며, 이때 $G$가 $L = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$ 에서 $G_\tau$-밀도가 되도록 보장한다.
• $L_0 \to \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$ 는 연결성분이며, $L_0 \bigcap G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times A$ 이므로 $A$ 는 $G$ 의 연결성분의 부분군으로 복원된다.
• [10]과 [42]의 국소 허위완비성과 완비화에 관한 결과를 적용하여, $L$ 이 국소적으로 콤팩트이면 $G$ 는 국소적으로 허위완비성임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 국소적으로 전콤팩트 군이 다이우돈느 완비성을 가지며, 이를 내재적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 전콤팩트 군이 국소적으로 실완비성일 조건은 무엇이며, 그 완비화와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 국소적으로 전콤팩트 군이 계승 실완비성임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 국소적으로 허위완비성 군이 국소적으로 연결될 조건은 무엇이며, 이는 그 완비화의 국소 연결성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 어떤 아벨 국소적으로 전콤팩트 군이 위상군의 준성분으로 나타나며, 이를 위한 대수적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 국소적으로 전콤팩트 군은 그 Weil 완비화 $\tilde{G}$ 에서 $G_\tau$-닫혀 있을 때이고, 이는 국소적으로 실완비성과 동치이다.
• 국소적으로 전콤팩트 군이 계승 실완비성임은 그 완비화에서 $G_\tau$-닫혀 있고, 모든 닫힌 부분군이 실완비일 때에 한하여 성립한다.
• 국소적으로 허위완비성 군은 그 완비화가 국소적으로 연결되어 있을 때에만 국소적으로 연결되어 있으며, 이는 국소 연결성과 완비화 성질 사이의 강력한 연결고리를 확립한다.
• 아벨 국소적으로 전콤팩트 군 $A$ 는 국소적으로 허위완비성 군의 연결성분과 위상적으로 동형일 때이고, 이는 $A$ 가 전콤팩트적으로 생성되어 있다는 것과 동치이다. 즉, 전콤팩트 부분집합에 의해 대수적으로 생성된다.
• 만약 $A$ 가 전콤팩트이자 아벨이면, $A \to (\tilde{G})_0 \bigcap G$ 가 위상동형이 되는 국소적으로 허위완비성 군 $G$ 가 존재하며, $A$ 가 콤팩트이면 $G$ 는 허위완비성으로 선택할 수 있다.
• 메트릭 공간인 $A$ 에 대해서는, $w(G) = w(A)$ 를 만족하는 그러한 $G$ 는 존재하지 않으며, 이는 $A$ 가 이미 국소적으로 콤팩트이고 연결되어 있을 때에만 가능하다. 이는 반례 $A = \bbQ$ 로 보여진다.