[논문 리뷰] Locally Repairable Codes with Multiple $(r_{i}, \\delta_{i})$-Localities

Bin Chen, Shu‐Tao Xia외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 19.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분산 스토리지 시스템에서 핫 데이터의 복구 효율성을 향상시키기 위해 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 지원하는 국소적 복구 코드(LRCs)를 제안한다. $(r,\delta)$-지역성 모델을 다양한 지역성을 지원하도록 일반화함으로써, 최소 거리에 대한 싱글턴 유사 상한을 유도하고, Reed-Solomon 코드 위에서 패리티 분할 기법을 사용하여 명시적이고 최적의 구성법을 제시함으로써 복구 지역성과 장애 내성 간의 최적 트레이드오프를 달성한다.

ABSTRACT

In distributed storage systems, locally repairable codes (LRCs) are introduced to realize low disk I/O and repair cost. In order to tolerate multiple node failures, the LRCs with \\emph{$(r, \\delta)$-locality} are further proposed. Since hot data is not uncommon in a distributed storage system, both Zeh \\emph{et al.} and Kadhe \\emph{et al.} focus on the LRCs with \\emph{multiple localities or unequal localities} (ML-LRCs) recently, which said that the localities among the code symbols can be different. ML-LRCs are attractive and useful in reducing repair cost for hot data. In this paper, we generalize the ML-LRCs to the $(r,\\delta)$-locality case of multiple node failures, and define an LRC with multiple $(r_{i}, \\delta_{i})_{i\\in [s]}$ localities ($s\\ge 2$), where $r_{1}\\leq r_{2}\\leq\\dots\\leq r_{s}$ and $\\delta_{1}\\geq\\delta_{2}\\geq\\dots\\geq\\delta_{s}\\geq2$. Such codes ensure that some hot data could be repaired more quickly and have better failure-tolerance in certain cases because of relatively smaller $r_{i}$ and larger $\\delta_{i}$. Then, we derive a Singleton-like upper bound on the minimum distance for the proposed LRCs by employing the regenerating-set technique. Finally, we obtain a class of explicit and structured constructions of optimal ML-LRCs, and further extend them to the cases of multiple $(r_{i}, \\delta)_{i\\in [s]}$ localities.

연구 동기 및 목표

• 분산 스토리지 시스템에서 핫 데이터의 효율적 복구를 위해 가변적인 복구 지역성과 장애 내성을 지원하는 것을 목적으로 한다.
• 다양한 코드 기호에 대해 서로 다른 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 지원할 수 있도록 $(r,\delta)$-지역성 모델을 일반화하는 것을 목적으로 한다.
• 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가진 LRCs에 대한 최소 거리에 대한 싱글턴 유사 상한을 유도하는 것을 목적으로 한다.
• Reed-Solomon 코드 위에서 패리티 분할 기법을 사용하여 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가진 명시적이고 최적의 LRCs를 구성하는 것을 목적으로 한다.
• 기존의 구성법을 $r_1 < r_2 < \dots < r_s$ 및 $\delta_1 > \delta_2 > \dots > \delta_s$ 조건을 만족하도록 $r_i$와 $\delta_i$ 값이 변화하는 경우에도 적용 가능하도록 확장하는 것을 목적으로 한다.

제안 방법

• 복구 효율성이 다른 다양한 지역성($r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$ 및 $\delta_1 \geq \delta_2 \geq \dots \geq \delta_s \geq 2$)을 지원하는 새로운 LRC 모델을 제안하여 국소적 복구의 다양성을 가능하게 한다.
• 재생 집합 기법을 사용하여 최소 거리에 대한 싱글턴 유사 상한을 유도하며, 이는 이전의 ML-LRCs에 대한 상한을 일반화한다.
• 참고 문헌 [8]의 영감을 받아 패리티 분할 기법을 활용하여 Reed-Solomon 코드의 부분코드를 구성함으로써 원하는 지역성 특성을 가진 코드를 만든다.
• 각 지역성 그룹에 대응하는 블록으로 나누어진 RS 코드의 패리티 체크 행렬을 기반으로 패리티 체크 행렬 $H$를 구성하여, 각 기호가 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가지도록 보장한다.
• 유도된 상한과 일치하도록 $\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$ 와 같은 파라미터 설정을 통해 최적성을 확보한다.
• 유도된 상한에 도달하는 최소 거리와 차원 $k$를 가지며, 따라서 최적이 되는 코드가 됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 번의 코드 내에서 서로 다른 코드 기호에 대해 다수의 서로 다른 지역성 $(r_i,\delta_i)$를 지원할 수 있도록 $(r,\delta)$-지역성 모델을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가진 LRCs에 대해 최소 거리에 대한 가장 날카로운 상한은 무엇인가?
• RQ3 기존의 코드 가족을 사용하여 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가지는 명시적이고 구조화된 최적의 LRCs를 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 구성법은 $r_i$와 $\delta_i$ 값이 변화함에 따라 최적의 복구 효율성과 장애 내성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 파라미터 $n_i, r_i, \delta_i$에 대해 어떤 조건이 유도된 싱글턴 유사 상한에 도달하는 구성된 코드의 최적성을 보장하는가?

주요 결과

• 다수의 $(r_i,\delta_i)$-지역성을 가진 LRCs에 대해 최소 거리에 대한 새로운 싱글턴 유사 상한을 유도하였으며, 이는 이전의 ML-LRCs에 대한 상한을 일반화한다.
• 상한은 날카롭고 최적의 구성법의 성능와 정확히 일치하여 이론적 최적성을 보장한다.
• Reed-Solomon 코드 위에서 패리티 분할 기법을 사용하여 명시적이고 구조화된 최적의 LRCs를 구성하였으며, 이로써 $\text{dim}(\mathcal{C}) = k$를 확보하고 유도된 거리 상한에 도달한다.
• 지역성 $r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$ 및 $\delta_1 = \delta_2 = \dots = \delta_s = \delta$ 조건을 지원하여 핫 데이터의 효율적 복구를 가능하게 한다.
• 조건 $\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$ 하에서 최적성이 보장되어 최소 거리가 최대화됨을 보장한다.
• 적절한 필드 크기 $q > n$ 조건을 만족함으로써, 필요한 바르미엔드 행렬과 패리티 체크 구조의 존재를 보장하여 구성법이 유효함을 보장한다.