[논문 리뷰] Locally trivial quantum vector bundles and associated vector bundles

Dirk Calow, Rainer Matthes|ArXiv.org|2000. 02. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코텐서 곱과 미분 구조를 사용하여 국소적으로 평탄한 양자 주요 군의 복합체(양자 주요 군 다발, QPFB)로부터 국소적으로 평탄한 양자 벡터 다발(QVB)과 그에 관련된 접속을 구성하는 프레임워크를 수립한다. 접속과 곡률이 QPFB에서 유도된 바, 수평형식의 유형 $\rho$와의 동형사상에 의해 QVB에 대응하는 접속과 곡률이 유도됨을 증명하며, 고전적 관련 다발 이론을 비가환 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We define locally trivial quantum vector bundles (QVB) and QVB associated to locally trivial quantum principal fibre bundles. There exists a differential structure on the associated vector bundle coming from the differential structure on the principal bundle, which allows to define connections on the associated vector bundle associated to connections on the principal bundle.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 평탄한 양자 주요 군 다발(QPFB)에 관련된 국소적으로 평탄한 양자 벡터 다발(QVB)을 정의하고 구성하는 것.
• QPFB의 미분 구조에서 유도된 QVB에 대한 미분 구조를 수립하는 것.
• QPFB의 접속에서 유도된 방법으로 QVB에 접속과 곡률을 정의하는 것.
• 관련 QVB의 미분 구조가 QPFB의 유형 $\rho$ 수평형식 모듈과 동형임을 보이는 것.
• QPFB의 왼쪽 코변형 도함수 매니페스트가 관련 QVB에 유일한 접속을 유도함을 보이는 것.

제안 방법

• 완전한 커버링을 가진 대수 위에서 국소적 평탄성과 일반적인 섬유를 벡터 공간으로 사용하여 QVB를 정의한다.
• 관련 QVB를 코텐서 곱 $E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$로 구성한다. 여기서 $H$는 구조군의 호프 대수이다.
• QPFB의 미분 구조 $\Gamma_c({\cal P})$로부터 유도된 최대 임베디드 LC-미분 대수 $\Gamma_m(B)$를 통해 관련 QVB에 미분 구조를 부여한다.
• 왼쪽 코변형 도함수를 사용하여 $\cal P$에서 유도된 $\epsilon_\Gamma$의 동형사상과 함께, $horE({\cal P},F)$와 $E_\Gamma({\cal P},F)$ 사이의 관계를 통해 QVB의 접속을 코바리언트 도함수로 정의한다.
• 접속과 곡률의 국소 표현을 유도한다: $\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$ 및 $\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$.
• 유도된 QVB의 접속이 $\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$ 를 만족함을 증명하여 QPFB의 접속과의 연결을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 관련 다발 구성과 유사하게 국소적으로 평탄한 양자 벡터 다발(QVB)을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 기저가 되는 양자 주요 다발의 미분 구조로부터 관련 QVB에 어떤 미분 구조가 유도되는가?
• RQ3 양자 주요 다발의 접속과 그에 관련된 양자 벡터 다발의 접속은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 QPFB의 유형 $\rho$ 수평형식 모듈이 관련 QVB에 그 자체의 미분 구조를 갖춘 채로 자연스럽게 동형으로 식별될 수 있는가?
• RQ5 QPFB의 접속으로부터 유도된 관련 QVB의 접속과 곡률의 명시적 국소 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 코텐서 곱 $E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$로 구성된 관련 QVB는 QPFB의 전이 함수를 그대로 이어받은 국소적으로 평탄한 QVB이다.
• QPFB의 유형 $\rho$ 수평형식 모듈과의 동형사상에 의해 $\Gamma_m(B)$를 통한 관련 QVB의 미분 구조가 유도된다.
• QPFB의 모든 왼쪽 코변형 도함수 매니페스트는 $\epsilon_\Gamma$의 동형사상에 의해 관련 QVB에 유일한 접속을 유도한다.
• 관련 QVB의 국소 접속은 $\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$ 로 주어지며, 여기서 $A_{l_i}$는 국소 접속 1형식이다.
• 유도된 접속의 곡률은 $\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$ 를 만족하며, 여기서 $F_{l_i}$는 국소 곡률 2형식이다.
• 유도된 QVB의 접속은 $\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$ 를 만족하여 QPFB의 미분 구조와의 호환성을 보장한다.