[논문 리뷰] Locating the eigenvalues of matrix polynomials

Dario A. Bini, Vanni Noferini외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 16.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 다항식에 대한 고전적 근 국소화 기법—펠레의 정리와 뉴턴 다각형 방법—을 행렬 다항식으로 확장하여 에르리히-에버베스 반복법의 효과적인 초기 근사치 선택을 가능하게 한다. 토로이드 대수와 고유값의 크기 범위를 활용함으로써, 다항식 고유값 문제에서 수렴에 필요한 평균 및 최대 반복 횟수를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

Some known results for locating the roots of polynomials are extended to the case of matrix polynomials. In particular, a theorem by A.E. Pellet [Bulletin des Sciences Mathématiques, (2), vol 5 (1881), pp.393-395], some results of D.A. Bini [Numer. Algorithms 13:179-200, 1996] based on the Newton polygon technique, and recent results of M. Akian, S. Gaubert and M. Sharify (see in particular [LNCIS, 389, Springer p.p.291-303] and [M. Sharify, Ph.D. thesis, École Polytechnique, ParisTech, 2011]). These extensions are applied for determining effective initial approximations for the numerical computation of the eigenvalues of matrix polynomials by means of simultaneous iterations, like the Ehrlich-Aberth method. Numerical experiments that show the computational advantage of these results are presented.

연구 동기 및 목표

• 근의 크기가 크게 다름에도 불구하고 다항식 고유값 해법의 수렴이 열악한 문제를 해결한다.
• 에르리히-에버베스와 같은 반복적 고유값 해법의 초기 근사치 선택을 향상시키기 위해 근 국소화 기법을 활용한다.
• 스칼라 다항식의 근 범위 기반 기법—펠레의 정리와 뉴턴 다각형 분석—을 행렬 다항식으로 확장한다.
• 계산 비용을 줄일 수 있는 실용적인 기준을 개발하여 초기 근사치를 배치한다.
• 스칼라 다항식의 MPSolve 소프트웨어와 유사하게 효율적이고 고정밀도의 행렬 다항식 고유값 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 계수의 노름과 루체의 정리를 활용하여 행렬 다항식에 대해 펠레의 정리를 적응하여 고유값의 크기 범위를 분석한다.
• 점 (i, log||A_i||) 를 그려서 상한 볼록 껍질을 계산함으로써 행렬 다항식 계수의 뉴턴 다각형을 구성한다.
• 뉴턴 다각형의 각 세그먼트 기울기를 활용하여 초기 근사치 배치를 위한 반경 r_i = ||A_{k_{i-1}}|| / ||A_{k_i}||^{1/(k_i - k_{i-1})} 를 결정한다.
• 각 반경 r_i 에 대해 다중도 m_i = k_i - k_{i-1} 만큼 균일하게 원형으로 초기 근사치를 배치하여 기대되는 고유값 클러스터와 일치시킨다.
• 이러한 구조화된 초기 추측치를 사용하여 에르리히-에버베스 반복법를 적용하고, 최대 반복 횟수(simul_it)와 평균 반복 횟수(aver_it)를 모두 추적한다.
• 토로이드 대수 프레임워크를 활용하여 뉴턴 다각형 결과를 해석하고 반경 기반 클러스터링의 효과를 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펠레의 정리와 뉴턴 다각형 기법을 행렬 다항식으로 일반화하여 고유값의 크기 범위를 구할 수 있는가?
• RQ2 고유값 크기 국소화는 에르리히-에버베스와 같은 반복적 고유값 해법의 수렴을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 균일한 원형 배치 대비 뉴턴 다각형 기반 초기 근사치 사용이 계산상 어떤 이점이 있는가?
• RQ4 균형 잡히지 않은 고유값 크기를 가진 행렬 다항식에 대해서도 이러한 경계가 얼마나 효과적인가?
• RQ5 뉴턴 다각형 방법을 사용하여 MPSolve와 유사한 다중정밀도 행렬 다항식 근 구하기 도구를 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 균형 잡히지 않은 고유값 크기를 가진 행렬 다항식에 대해, 뉴턴 다각형 기반 초기 근사치는 균일한 단위 원형 배치 대비 평균 반복 횟수를 최대 75% 감소시킨다.
• m=40일 때 평균 반복 횟수(aver_it)는 단위 원형의 1466에서 뉴턴 다각형의 6.1로 감소하여 약 240배 감소한다.
• 최대 반복 횟수(simul_it) 역시 크게 감소하여 m=40일 때 1594에서 13으로 줄어들며, 모든 구성 요소에서 더 빠른 수렴을 보인다.
• 비정규 행렬 계수에 대해서도 이 방법은 효과적이며, 무작위 계수 테스트에서 유사한 반복 횟수 감소가 관찰된다.
• 반복 횟수 감소 폭은 행렬 크기 m과 약 선형적으로 증가하므로, 대규모 문제에 대한 확장 가능성도 있다.
• 뉴턴 다각형 방법은 고유값이 존재하지 않는 영역에 초기 근사치를 놓지 않아, 고리 기반 경계와 ]s_{h_j}, t_{h_j}[ 간격 내의 근이 없음을 확인함으로써 이를 방지한다.