[논문 리뷰] Locking free and gradient robust H(div)-conforming HDG methods for linear elasticity

Guosheng Fu, Christoph Lehrenfeld외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 23.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 탄성 문제에 대해 잠금 없고 기울기-저항성인 H(div)-준수 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 제안한다. 이는 발산 준수 이산화를 활용하여 거의 불압축 가능한 근처에서 안정성과 정확성을 보장한다. 이 방법은 최적 수렴 속도를 달성하며 고 라마 매개변수 값에 대해 강건하며, 다양한 시험 케이스에서 이론적이고 수치적으로 성능가 검증된다.

ABSTRACT

Robust discretization methods for (nearly-incompressible) linear elasticity are free of volume-locking and gradient-robust. While volume-locking is a well-known problem that can be dealt with in many different discretization approaches, the concept of gradient-robustness for linear elasticity is new. We discuss both aspects and propose novel Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) methods for linear elasticity. The starting point for these methods is a divergence-conforming discretization. As a consequence of its well-behaved Stokes limit the method is gradient-robust and free of volume-locking. To improve computational efficiency, we additionally consider discretizations with relaxed divergence-conformity and a modification which re-enables gradient-robustness, yielding a robust and quasi-optimal discretization also in the sense of HDG superconvergence.

연구 동기 및 목표

• 선형 탄성 문제의 유한요소 이산화에서 부피-잠금 현상과 기울기-저항성 문제를 해결하기 위해, 특히 거의 불압축 가능한 근처에서의 성능을 향상시키는 것.
• 잠금 없고 기울기-저항성인 H(div)-준수 HDG 방법의 새로운 클래스를 개발하는 것.
• 탄성 문제의 스토크스 유사 부분에 대해 이산 인프-스터프 안정성과 압력-저항성을 확보하는 것.
• 전반적인 자유도를 줄이되 강건성과 수렴성을 유지하는 효율적인 변형을 제안하는 것.
• 메esh 정밀도와 라마 매개변수 변화에 따른 벤치마크 예제를 통한 수치적 검증을 수행하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 선형 탄성 문제의 혼합 약한 형태를 기반으로 한 발산 준수 HDG 포지션을 사용하여, 이완된 이산 분할이 안정적이고 일관되게 이완된 변위를 발산 없는 성분과 컬 없는 성분으로 나누도록 보장한다.
• Raviart-Thomas 유형의 유한요소 공간을 사용하여 하이브리드화된 불연속 갈레르킨 프레임워크를 적용함으로써 H(div)-준수 조건을 수치적 플럭스를 통해 약하게 강제한다.
• 핵심 혁신은 기울기 필드와 이산적으로 발산 없는 테스트 함수 간의 이산 $\boldsymbol{L}^2$-수직성 조건을 사용하여 기울기-저항성을 강제하는 데 있다.
• 완전한 준수 조건이 느슨해진 경우에도 기울기-저항성을 회복하기 위해 수정된 안정화 항을 도입하여, 전체적인 강건성을 확보한다.
• 가장 중요한 분석은 가중치(norm)와 쌍대성 원리를 사용한 사전 오차 추정에 기반하며, 준최적성과 잠금 없음 성질을 증명한다.
• 다양한 $\lambda$ 값과 함께 바리센트 메쉬를 사용한 수치 실험을 통해 메쉬 정밀도 증가에 따른 수렴성과 거의 불압축 가능한 영역에서의 강건성을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H(div)-준수 HDG 방법은 선형 탄성 문제에서 동시에 부피-잠금 없고 기울기-저항성이 가능할 수 있는가?
• RQ2 변위의 이산 분할이 발산 없는 성분과 컬 없는 성분으로 나뉘는 방식이 정확성과 안정성을 어떻게 유지하는가?
• RQ3 발산 준수 조건을 느슨하게 하면 방법의 수렴성과 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 거의 불압축 가능한 재료에서 일반적으로 나타나는 고 $\lambda$ 값 조건에서도 이 방법이 최적 수렴 속도와 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 기본 HDG 또는 혼합 유한요소 방법과 비교할 때 이 방법은 오차 행동과 조건 수에 대해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 H(div)-준수 HDG 방법은 잠금 없고 기울기-저항성이 입증되었으며, 이완된 에너지 노름과 $L^2$-노름에서 최적 수렴 속도를 보인다.
• 이 방법은 이산 인프-스터프 안정성을 유지하며, 속도 해에 영향을 주는 힘 벡터의 발산 없는 부분만이 영향을 미친다. 이는 정확성을 유지한다.
• 수치 결과는 이산 오차 노름이 메쉬 정밀도 수준에서 $\lambda$에 거의 의존하지 않음을 보여주며, 거의 불압축 가능한 영역에서의 강건성을 확인한다.
• 완화된 변형은 전역적으로 연결된 자유도를 줄이지만, 수정된 안정화 항 덕분에 여전히 준최적 수렴과 기울기-저항성을 유지한다.
• 오차 추정은 이산 $L^2$-오차가 $h(\mu^{-1/2}\|\underline{\boldsymbol{u}} - \underline{\boldsymbol{u}}_h\|_{\mu,\ast,h} + \|({\rm id}-\Pi_Q)\operatorname{div}\boldsymbol{u}\|)$로 유계임을 보여주며, 이는 $\mu$와 $\lambda$에 대해 강건함을 확인한다.
• 2차 수준($k=2$)에서 바리센트 메쉬를 사용한 경우, 오차 곡선이 $\lambda$에 영향을 받지 않으며, 이는 이론적 예측을 검증한다.