[논문 리뷰] Log-concavity and q-Log-convexity Conjectures on the Longest Increasing Subsequences of Permutations

William Y. C. Chen|ArXiv.org|2008. 06. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 길이가 가장 긴 증가 부분 수열과 교차 수를 기준으로 순열과 매칭을 세는 다항식 $P_n(x)$와 $M_{2n}(x)$에 대한 로그볼록성 및 $q$-로그볼록성에 대한 추측을 제시한다. Gessel의 정리와 행렬식 공식을 이용하여 각각 $n \leq 18$ 및 $n \leq 15$에 대해 명시적인 다항식을 제공하고, 두 수열이 모두 $\infty$-$q$-로그볼록성과 임의의 차수의 로그볼록성을 갖는다고 추측한다.

ABSTRACT

Let $P_{n,k}$ be the number of permutations $π$ on [n]={1, 2,..., n} such that the length of the longest increasing subsequences of $π$ equals k, and let $M_{2n, k}$ be the number of matchings on [2n] with crossing number k. Define $P_n(x)= \sum_k P_{n,k}x^k$ and $M_{2n}(x)=\sum_{k} M_{2n,k}x^k$. We propose some conjectures on the log-concavity and q-log-convexity of the polynomials $P_n(x)$ and $M_{2n}(x)$. We also introduce the notions of $\infty$-q-log-convexity and $\infty$-q-log-concavity, and the notion of higher order log-concavity with respect to $\infty$-q-log-convex or $\infty$-q-log-concavity. A conjecture on the $\infty$-q-log-convexity of the Boros-Moll polynomials is presented. It seems that $M_{2n}(x)$ are log-concave of any order with respect to $\infty$-q-log-convexity.

연구 동기 및 목표

• 최장 증가 부분 수열 길이에 따라 순열을 세는 다항식 $P_n(x)$의 로그볼록성 및 $q$-로그볼록성 성질을 조사한다.
• 이러한 추측을 교차 수에 따라 매칭을 세는 생성 다항식 $M_{2n}(x)$로 확장한다.
• $\infty$-$q$-로그볼록성과 $q$-로그볼록성에 대한 고차수 로그볼록성 개념을 도입하고 탐구한다.
• Boros-Moll 다항식의 $\infty$-$q$-로그볼록성에 대한 추측을 제안하며, 이들이 $q$-로그볼록 수열의 광범위한 프레임워크와 연결됨을 보여준다.
• $P_n(x)$와 $M_{2n}(x)$의 명시적 다항식 전개를 각각 $n=18$ 및 $n=15$까지 제공하여 추측의 경험적 검증을 지원한다.

제안 방법

• $P_n(x) = \sum_k P_{n,k} x^k$로 정의하며, 여기서 $P_{n,k}$는 길이가 $k$인 최장 증가 부분 수열을 갖는 $\mathfrak{S}_n$ 내 순열의 수를 뜻한다. 이때 $u_k(n) = \#\{\pi \in \mathfrak{S}_n : \mathrm{is}(\pi) \leq k\}$에 대해 Gessel의 행렬식 공식을 사용한다.
• $P_n(x)$를 차이 $u_k(n) - u_{k-1}(n)$로 표현함으로써, 행렬식 $U_k(x) = \det(I_{i-j}(2x))_{i,j=1}^k$를 통해 계수를 계산할 수 있다.
• $M_{2n}(x) = \sum_k M_{2n,k} x^k$로 정의하며, 여기서 $M_{2n,k}$는 $[2n]$ 위의 매칭 중 교차 수가 $k$인 수를 뜻한다. 이때 Grabiner-Magyar의 행렬식 공식 $V_k(x) = \det(I_{i-j}(2x) - I_{i+j}(2x))_{i,j=1}^k$를 사용한다.
• $M_{2n,k} = v_k(n) - v_{k-1}(n)$로 계산하며, 여기서 $v_k(n)$은 교차 수 $\leq k$인 매칭의 수이다. 이로부터 $M_{2n}(x)$는 $V_k(x)$로부터 유도된다.
• $\infty$-$q$-로그볼록성과 $q$-로그볼록성에 대한 $k$-차수 로그볼록성 개념을 도입하여, 고전적 로그볼록성을 다항식 수열으로 일반화한다.
• $n \leq 18$ 및 $n \leq 15$에 대해 $P_n(x)$와 $M_{2n}(x)$의 명시적 다항식 전개를 이용하여 $q$-로그볼록성 및 고차수 로그볼록성에 대한 추측을 경험적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최장 증가 부분 수열 길이에 따라 생성되는 다항식 $P_n(x)$는 모든 $n \geq 1$에 대해 로그볼록성인가?
• RQ2 수열 $\{P_n(x)\}$은 모든 $n \geq 1$에 대해 강한 $q$-로그볼록성 및 $\infty$-$q$-로그볼록성인가?
• RQ3 교차 수에 따라 세는 다항식 $M_{2n}(x)$는 모든 $n \geq 1$에 대해 로그볼록성 및 $\infty$-$q$-로그볼록성인가?
• RQ4 Boros-Moll 다항식 수열은 $\infty$-$q$-로그볼록성에 대해 임의의 차수의 로그볼록성 및 $\infty$-$q$-로그볼록성인가?
• RQ5 $n \leq 15$일 때, $M_{2n}(x)$의 계수는 $q$-로그볼록성 하에서 고차수 로그볼록성을 보이는가?

주요 결과

• $P_n(x)$는 $n \leq 18$일 때 로그볼록성이며, 계수 $P_{n,k}$는 Gessel의 행렬식 공식을 통해 계산된다.
• $n \leq 18$일 때 $P_n(x)$는 강한 $q$-로그볼록성을 보이며, 수열 $\{P_n(x)\}$는 $\infty$-$q$-로그볼록성일 것으로 추측된다.
• $M_{2n}(x)$는 $n \leq 15$일 때 로그볼록성이며, 계수는 4-로그볼록성을 보이며 이는 $\infty$-$q$-로그볼록성 추측을 뒷받침한다.
• $n \leq 14$일 때 수열 $\{M_{2n}(x)\}$는 $q$-$3$-로그볼록성임을 발견하여 $q$-$\infty$-로그볼록성의 가능성을 시사한다.
• Boros-Moll 다항식은 $\infty$-$q$-로그볼록성 및 $\infty$-$q$-로그볼록성에 대해 임의의 차수의 로그볼록성일 것으로 추측된다.
• $P_n(x)$와 $M_{2n}(x)$의 명시적 전개가 각각 $n=18$ 및 $n=15$까지 제공되었으며, 계수 예로 $P_{18}(x)$는 $x^{18}$ 항의 계수 1과 $x^2$ 항의 계수 477638699를 포함한다.