[논문 리뷰] Log-concavity of volume and complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity

Tamás Darvas, Eleonora Di Nezza외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 01.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 40인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 카라슈의만 다양체 위에서 주어진 특이성 유형을 갖는 복소 몽체-암페르 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 이전에 요구되던 작은 비유계 집합 조건을 제거한다. 또한 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대한 부피의 상대적 볼록성(로그-볼록성)을 확인하고, 상대 복소 다항형 이론과 볼록 기하학의 브룬-민코프스키 이론 사이에 깊은 대응 관계를 규명한다.

ABSTRACT

Let $(X,\\omega)$ be a compact K\\"ahler manifold. We prove the existence and uniqueness of solutions to complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity type. Compared to previous work, the assumption of small unbounded locus is dropped, and we work with general model type singularities. We state and prove our theorems in the context of big cohomology classes, however our results are new in the K\\"ahler case as well. As an application we confirm a conjecture by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi concerning log-concavity of the volume of closed positive $(1,1)$-currents. Finally, we show that log-concavity of the volume in complex geometry corresponds to the Brunn-Minkowski inequality in convex geometry, pointing out a dictionary between our relative pluripotential theory and $P$-relative convex geometry. Applications related to stability and existence of csck metrics are treated elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 양의 (1,1)-현재에 대한 부피 함수의 로그-볼록성에 관한 부크소름-에시디에-구에즈-제리아이의 오랜 추측을 해결하기 위해.
• 작은 비유계 집합 조건 없이, 주어진 특이성 유형을 갖는 복소 몽체-암페르 방정식의 해가 존재하고 유일함을 확립하기 위해.
• 코로드지와 부크소름-에시디에-구에즈-제리아이의 이전 결과를 '빅 코hom올로지 클래스'와 일반적인 모형 유형 특이성으로 일반화하기 위해.
• 상대 복소 다항형 이론과 볼록 기하학의 P-상대 볼록 기하학 사이에 정확한 사전을 드러내며, 특히 브룬-민코프스키 부등식과의 연결 고리를 밝히기 위해.

제안 방법

• 해의 $L^p$-적분 가능성 정도를 제어하기 위한 핵심 기술 도구로 상대 코로드지 추정(정리 3.3)을 도입한다.
• 상대 엔velop $P_{\theta}[\bullet]$를 사용하여 모형 유형 특이성을 정의하고 특성화함으로써 특이성 유형이 잘 행동함을 보장한다.
• 다항형 이론을 적용하여 $u \in \textup{PSH}(X,\theta)$에 대해 비다항형 몽체-암페르 측도 $\theta_u^n$을 정의함으로써, 현재의 관점에서 방정식을 서술할 수 있도록 한다.
• 지지 함수와 토릭 모델 포텐셜 $\phi_P$를 통해 $\mathbb{R}^n$ 내 볼록체와 양의 현재의 특이성 사이에 대응 관계를 설정한다.
• 볼록 기하학의 브룬-민코프스키 부등식을 $\mathbb{CP}^n$ 상의 혼합 몽체-암페르 곱을 통해 복소 기하학적 부등식으로 번역한다.
• 토루스 작용 $(S^1)^n$의 불변성을 이용해 문제를 토릭 설정으로 축소함으로써 볼록 분석과 용적 추정을 적용할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 특이성 유형을 갖는 복소 몽체-암페르 방정식은 작은 비유계 집합 조건 없이도 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 컴팩트 카라슈의만 다양체 위의 닫힌 양의 (1,1)-현재의 콘에 대해 부피 함수는 로그-볼록한가?
• RQ3 특이성 계량의 상대 다항형 이론이 볼록체의 브룬-민코프스키 이론과 어느 정도 유사한가?
• RQ4 지수 비선형성을 갖는 아빈-요우 형 방정식에서 몽체-암페르 방정식의 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 계량의 특이성 유형과 그에 대응하는 몽체-암페르 측도의 적분 가능성 사이에 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 정리 A(i)는 $[\phi]$가 모형 유형 특이성이고 $f \in L^p(\omega^n)$, $p > 1$, $\int_X f\omega^n = \int_X \theta_\phi^n > 0$ 를 만족할 경우, $\theta_u^n = f\omega^n$ 과 $[u] = [\phi]$ 를 만족하는 해 $u$가 존재하고 상수항을 제외하고 유일함을 증명한다.
• 정리 A(ii)는 이 결과를 아빈-요우 형 방정식 $\theta_u^n = e^{\lambda u}f\omega^n$ 으로 확장하여, 동일한 조건 하에 임의의 $\lambda > 0$ 에 대해 존재성과 유일성을 증명한다.
• 부크소름-에시디에-구에즈-제리아이의 로그-볼록성 추측이 완전히 확인된다: 부피 함수 $[\phi] \mapsto \int_X \theta_\phi^n$ 는 특이성 유형의 공간에서 로그-볼록하다.
• 논문은 정확한 대응 관계를 설정한다: 볼록 기하학의 브룬-민코프스키 부등식은 복소 기하학에서의 부피의 로그-볼록성에 대응하며, 혼합 몽체-암페르 곱은 혼합 부피에 대응한다.
• 토릭 대칭성을 갖는 $\mathbb{CP}^n$ 상의 몽체-암페르 방정식의 해는 일정한 $L^{n+\delta}$ 적분 가능성 조건을 만족할 경우 유계임을 입증한 바, 이는 부피-용적 비교를 통해 도출된다.
• 혼합 몽체-암페르 곱 $\int_{\mathbb{CP}^n} \prod_{j=1}^n (r\omega_{FS} + i\partial\bar{\partial}\phi_{P_j})$ 는 $\frac{n!}{2^n} \textup{MV}(P_1,\ldots,P_n)$ 와 같다. 이는 브룬-민코프스키 부등식의 복소 기하학적 해석을 증명한다.