[논문 리뷰] Logarithmic singularities of Schwartz kernels and local invariants of conformal and CR structures

Raphaël Ponge|ArXiv.org|2007. 10. 31.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분기하학적 구조에서 GJMS 연산자의 그린 커널의 로그 특이성을, conformal 기하학에서는 Fefferman-Graham의 임베딩 메트릭을, CR 기하학에서는 Fefferman의 Kähler-Lorentz 임베딩 메트릭을 사용하여, 각각 Weyl conformal 및 CR 불변량의 선형 조합으로 표현할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 conformal 및 CR 기하학에서 GJMS 연산자의 그린 커널 특이성에 대한 불변적이고 기하학적인 표현을 제공하며, CR Yamabe 및 Paneitz 유형 연산자에 대해서는 곡률 텐서와 불변량을 이용한 명시적 공식을 제시한다.

ABSTRACT

This paper consists of two parts. In the first part we show that in odd dimension, as well as in even dimension below the critical weight (i.e. half the dimension), the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of conformal invariant pseudodifferential operators are linear combinations of Weyl conformal invariants, i.e., of local conformal invariants arising from complete tensorial contractions of the covariant derivatives of the Lorentz ambient metric of Fefferman-Graham. In even dimension and above the critical weight exceptional local conformal invariants may further come into play. As a consequence, this allows us to get invariant expressions for the logarithmic singularities of the Green kernels of the GJMS operators (including the Yamabe and Paneitz operators). In the second part, we prove analogues of these results in CR geometry. Namely, we prove that the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of CR invariant Heisenberg pseudodifferential operators give rise to local CR invariants, and below the critical weight are linear combinations of complete tensorial contractions of the covariant derivatives of Fefferman's Kälher-Lorentz ambient metric. As a consequence, we can obtain invariant descriptions of the logarithmic singularities of the Green kernels of the CR GJMS operators of Gover-Graham (including the CR Yamabe operator of Jerison-Lee).

연구 동기 및 목표

• 모든 conformal 기하학적 불변량에 대해 Schwartz 및 그린 커널 특이성을 국소적 conformal 불변량의 관점에서 기술하기 위해.
• 이 기술을 Heisenberg pseudodifferential 연산자에 대해 확장하고, 그 특이성이 국소적 CR 불변량과 어떻게 관련되는지 밝히기 위해.
• conformal 및 CR 기하학에서 GJMS 연산자의 그린 커널 특이성에 대한 불변적이고 기하학적인 표현을 제공하기 위해.
• 이러한 특이성의 구조를 홀수 차원 및 임계 무게 이하의 짝수 차원에서 규명하고, 임계 무게를 초월하는 경우에 나타나는 특수 불변량을 식별하기 위해.
• 이러한 특이성이 둘 다 conformal 및 CR 기하학에서 임베딩 메트릭의 공변도 미분의 완전한 수축으로 표현된다는 것을 증명하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 변화에 따른 Schwartz 및 그린 커널 특이성의 conformal 변환 법칙을 사용하여, Parker-Rosenberg, Gilkey, Paycha-Rosenberg의 이전 결과를 일반화하기 위해.
• Riemann 기하학적 불변량에 대한 로그 특이성이 공변도 미분의 곡률 텐서 수축으로 표현되는 국소적 Riemann 기하학적 불변량임을 증명하기 위해.
• Bailey-Eastwood-Graham 및 Graham-Hirachi의 국소적 conformal 불변량 분류를 적용하여, 홀수 차원 및 임계 무게 이하의 짝수 차원에서 이러한 불변량이 Weyl conformal 불변량임을 보여주기 위해.
• Fefferman-Graham의 임베딩 메트릭의 Ricci 평탄성 특성을 활용하여 독립적인 Weyl conformal 불변량의 수를 줄이고 특이성의 구조를 정밀화하기 위해.
• Heisenberg 계산법과 Fefferman의 Kähler-Lorentz 임베딩 메트릭을 사용하여 CR 기하학에 이 방법을 적용하고, 특이성이 conformal로 변환되며 국소적 CR 불변량임을 증명하기 위해.
• CR 기하학의 분류 결과를 적용하여, 임계 무게 이하에서 특이성이 임베딩 곡률에서 유도된 Weyl CR 불변량의 선형 조합임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 conformal 기하학에서 conformally invariant pseudodifferential 연산자의 그린 커널 특이성은 국소적 conformal 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 Weyl conformal 불변량은 홀수 차원 및 임계 무게 이하의 짝수 차원에서 이러한 특이성을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 임계 무게 이상의 짝수 차원에서 어떻게 특수한 국소적 conformal 불변량이 나타나는가?
• RQ4 CR 불변 Heisenberg pseudodifferential 연산자는 그 커널 특이성을 통해 국소적 CR 불변량을 얼마나 잘 유도하는가?
• RQ5 CR GJMS 연산자, 예를 들어 CR Yamabe 연산자에 대해 로그 특이성에 대한 불변 표현을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 홀수 차원 및 임계 무게 이하의 짝수 차원에서, conformal 기하학에서 conformally invariant 연산자의 그린 커널 특이성은 Fefferman-Graham의 임베딩 메트릭의 공변도 미분의 완전한 수축에서 유도된 Weyl conformal 불변량의 선형 조합으로 표현된다.
• GJMS 연산자, 예를 들어 Yamabe 및 Paneitz 연산자를 포함하여, 그들의 그린 커널 특이성은 불변적으로 Weyl conformal 불변량의 선형 조합으로 표현된다.
• 임계 무게 이상의 짝수 차원에서는 추가로 특수한 국소적 conformal 불변량( Baileys-Gover의 것)과 Graham-Hirachi 불변량이 특이성의 구조에 나타날 수 있다.
• CR 기하학에서 CR 불변 연산자의 그린 커널 특이성은 국소적 CR 불변량이며, 임계 무게 이하에서는 Fefferman의 Kähler-Lorentz 임베딩 메트릭에서 유도된 Weyl CR 불변량의 선형 조합으로 표현된다.
• CR GJMS 연산자에 대해 특이성은 $ \gamma_{oxdot_{ heta}^{(k)}}(x) = c_{ heta}^{(k)}(x) |d heta^n \wedge \theta| $ 로 주어지며, 여기서 $ c_{ heta}^{(k)}(x) $ 는 무게 $ n+1-k $ 의 스칼라 Weyl CR 불변량의 선형 조합이다.
• 명시적 공식이 도출되었으며: $ c_{ heta}^{(n)}(x) = 0 $, $ c_{ heta}^{(n-1)}(x) = \alpha_n |S|_{\theta}^2 $, 그리고 $ c_{ heta}^{(n-2)}(x) $ 는 $ S_{i\bar{j}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{k}l} S_{k\bar{l}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{p}q} S_{p\bar{q}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{i}j} $, $ S_{i\phantom{}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{j\bar{k}} S^{\bar{i}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{j}p} S^{\bar{p}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{q}k} $, 그리고 CR Fefferman-Graham 불변량 $ \Phi_\theta $ 를 포함한다.