[논문 리뷰] Logic and $\mathrm{C}^*$-algebras: set theoretical dichotomies in the theory of continuous quotients

Alessandro Vignati|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 49인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속체 가설(CH)과 포싱 공리(Forcing Axioms)와 같은 집합론적 공리가 코로나 C*-대수의 자기동형군의 구조에 미치는 영향을 조사한다. 이는 체히-스톤 잔여물의 비가환 성격을 지닌 대수이다. CH 하에서 코로나 C*-대수의 자기동형군은 풍부하고 정의 불가능한 성질을 지닌다. 반면 포싱 공리 하에서는 자기동형군이 강하게 고정되어 있으며, 오직 정의 가능한 자기동형군만 포함된다. 이는 이들의 모델이론적 및 집합론적 행동에 있어 뚜렷한 이분법을 드러낸다.

ABSTRACT

Given a nonunital $\mathrm{C}^*$-algebra $A$ one constructs its corona algebra $\mathcal M(A)/A$. This is the noncommutative analog of the Čech-Stone remainder of a topological space. We analyze the two faces of these algebras: the first one is given assuming CH, and the other one arises when Forcing Axioms are assumed. In their first face, corona $\mathrm{C}^*$-algebras have a large group of automorphisms that includes nondefinable ones. The second face is the Forcing Axiom one; here the automorphism group of a corona $\mathrm{C}^*$-algebra is as rigid as possible, including only definable elements

연구 동기 및 목표

• 연속체 가설(CH)과 포싱 공리(Forcing Axioms)와 같은 집합론적 공리가 코로나 C*-대수의 자기동형군에 미치는 영향을 분석하는 것.
• CH 하에서의 모델이론적 포화와 포싱 공리가 연속적 몫에 의해 유도하는 강성 사이의 이원성을 수립하는 것.
• 포싱 공리 하에서 C*-대수의 축소곱의 자기동형 및 동형사상의 리핑 존재성을 조사하는 것.
• Ulam 안정성의 개념을 C*-대수 준동형사상의 맥락에서 분석하고, 축소곱의 동형사상과의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 포싱 공리 하에서 단위 원소를 가진 분리 가능 단순 핵심 C*-대수의 축소곱 간 동형사상의 강성에 관한 추측을 수립하고 검토하는 것.

제안 방법

• CH 하에서의 포화 성질을 활용한 C*-대수의 모델이론을 통해 코로나 대수의 구조를 분석한다.
• 포싱 공리를 적용하여 자기동형군의 강성 결과를 도출하며, 코로나 대수의 자기동형군이 반드시 정의 가능하고 비어 있는 성질을 가져야 한다는 것을 보여준다.
• 린핑 정리를 활용하여 축소곱의 자기동형군을 곱 대수 간 ∗-준동형사상과 연결한다. 특히 AF 및 UHF 대수의 맥락에서 적용한다.
• Ulam 안정성 기법을 적용하여 C*-대수 간 거의 ∗-준동형사상이 언제 일정한 ∗-준동형사상에 균일하게 가까워지는지 분석한다.
• 특히 단위 원소를 가진 분리 가능 UHF 및 AF 대수인 C*-대수의 수열에 대해 축소곱 ∏Aₙ/⊕Aₙ의 구조를 분석한다.
• 연속적 모델이론과 述어 집합론을 활용하여 비가환 위상수학에서 자기동형군과 집합론적 원리 간의 상호작용을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속체 가설과 포싱 공리 하에서 코로나 C*-대수의 자기동형군은 어떻게 다를까?
• RQ2 C*-대수의 축소곱의 자기동형군은 어느 정도까지 곱 대수 간 ∗-준동형사상으로 린핑될 수 있는가?
• RQ3 포싱 공리 하에서, 단위 원소를 가진 분리 가능 C*-대수의 축소곱 간의 모든 동형사상은 인덱스 집합에 대한 거의 순열과 해당 인자들 간의 동형사상에 의해 유도되는가?
• RQ4 포싱 공리 하에서, 단위 원소를 가진 분리 가능 단순 핵심 C*-대수의 클래스는 Ulam 안정성을 가지는가? 즉, 거의 ∗-준동형사상이 항상 실제 ∗-준동형사상에 균일하게 가까운가?
• RQ5 UHF 및 AF 대수 이외의 비아벨 C*-대수로까지 코로나 대수의 자기동형군의 강성이 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 연속체 가설 하에서 코로나 C*-대수의 자기동형군은 매우 큰 군을 가지며, 정의 불가능한 자기동형군까지 포함되어 있어 모델이론적 포화도가 매우 높음을 시사한다.
• 포싱 공리 하에서 코로나 C*-대수의 자기동형군은 가능한 한 강성이 있으며, 오직 정의 가능한 자기동형군만 포함되어 있어 강력한 구조적 제약 조건을 의미한다.
• 단위 원소를 가진 분리 가능 UHF 대수에 대해, ∏Aₙ/⊕Aₙ와 ∏Bₙ/⊕Bₙ 간의 동형사상이 존재하는 것은, ℕ에 대한 거의 순열 f 가 존재하여 모든 n 에 대해 f(n)이 정의될 때 Aₙ ≅ B_f(n) 임과 동치이다.
• 축소곱의 자기동형군에 대한 린핑 정리에 따르면, 포싱 공리 하에서 ∏Aₙ/⊕Aₙ 의 모든 자기동형군은 ∏Aₙ 과 ∏Bₙ 간의 ∗-준동형사상으로 린핑될 수 있다.
• AF 대수에 대한 Ulam 안정성은 린핑의 존재와 연결된다. 만약 (Aₙ) 이 단위 원소를 가진 단순 분리 가능 AF 대수의 수열이라면, 포싱 공리 하에서 ∏Aₙ/⊕Aₙ 의 모든 자기동형군은 ∗-준동형사상으로 린핑 가능하다.
• 논문은 다음과 같은 추측을 제기한다: 단위 원소를 가진 분리 가능 단순 핵심 C*-대수에 대해, 포싱 공리가 성립할 경우, 축소곱 간의 동형사상은 인덱스 집합에 대한 거의 순열과 각 인자들 간의 동형사상에 의해 유도된다.