[논문 리뷰] Logics for Epistemic Actions: Completeness, Decidability, Expressivity

Alexandru Baltag, Lawrence S. Moss외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 13.

Logic, Reasoning, and Knowledge인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동적 지식 논리학에서 행동 서명을 고려하여, ${\cal L}_0({\mathbf{\Sigma}})$에 대해 강한 완전성과 ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$에 대해 약한 완전성을 증명하며, 모달 필터링과 PDL로의 번역을 통해 결정 가능성을 확립한다. 또한, 사적인 공개가 포함된 논리학이 공개적 공개만을 포함한 논리학보다 더 표현력이 뛰어나다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We consider dynamic versions of epistemic logic as formulated in Baltag and Moss "Logics for epistemic programs" (2004). That paper proposed a logical language (actually families of languages parameterized by action signatures) for dynamic epistemic logic. It had been shown that validity in the language is Pi-1-1-complete, so there are no recursively axiomatized complete logical systems for it. In contrast, this paper proves a weak completeness result for the fragment without action iteration, and a strong completeness result for the fragment without action iteration and common knowledge. Our work involves a detour into term rewriting theory. The argument uses modal filtration, and thus we obtain the finite model property and hence decidability. We also give a translation of our largest language into PDL, thereby obtaining a second proof of decidability. The paper closes with some results on expressive power. These are mostly concerned with comparing the action-iteration-free language with modal logic augmented by transitive closure operators. We answer a natural question about the languages we obtain by varying the action signature: we prove that a logical language with operators for private announcements is more expressive than one for public announcements.

연구 동기 및 목표

• 행동 서명을 갖는 동적 지식 논리학의 조각에 대한 완전성 및 결정 가능성 결과를 확립하기 위해.
• 다양한 행동 유형(예: 공개적·사적인 공개)을 갖는 논리학의 표현력의 강도를 분석하기 위해.
• 동적 지식 논리학에서의 축약 가능성 및 모델 성질에 관한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 사적인 공개 논리학이 공개적 공개 논리학보다 엄격히 더 표현력이 뛰어나다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 표준 행동 모델과 새로운 행동 규칙을 사용하여 ${\cal L}_0({\mathbf{\Sigma}})$에 대한 강한 완전성을 증명한다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$에 대한 약한 완전성을 문장의 문법적 정규형과 공식에 대한 잘 서열화된 순서를 통해 확립한다.
• 모달 필터링을 적용하여 유한 모델 성질을 도출하고, 이로부터 ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$의 결정 가능성을 확보한다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$를 문맥 없는 동적 논리(PDL)로의 번역을 구성하여 결정 가능성에 대한 두 번째 증명을 제공한다.
• 비동치와 모델 구성 기법을 사용하여 서로 다른 행동 서명을 갖는 논리학 간의 표현력 비교를 수행한다.
• 반복 연산자(예: $[\text{Pub } \Diamond{\sf true}]^*$)가 모델의 유한성과 만족 가능성에 끼치는 영향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 의미론에 대해 논리 ${\cal L}_0({\mathbf{\Sigma}})$는 강한 완전성을 갖는가?
• RQ2 ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$는 약한 완전성을 갖는가? 그리고 결정 가능한가?
• RQ3 ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$는 PDL로 충실하게 번역될 수 있는가? 그리고 이는 결정 가능성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 사적인 공개를 포함한 논리학은 공개적 공개만을 포함한 논리학보다 더 표현력이 뛰어나다?
• RQ5 반복된 지식적 행동(예: $[\text{Pub } \Diamond{\sf true}]^*$)의 존재가 유한 모델 성질을 파괴하는가?

주요 결과

• ${\cal L}_0({\mathbf{\Sigma}})$는 표준 행동 모델 구성과 새로운 행동 규칙을 통해 강한 완전성이 증명된다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$는 문법적 정규형과 공식에 대한 잘 서열화된 순서에 의존하여 약한 완전성이 확보된다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$의 결정 가능성은 모달 필터링을 통해 유한 모델 성질을 도출함으로써 확립된다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}})$에서 PDL로의 번역은 결정 가능성에 대한 두 번째 증명을 제공한다.
• ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}}{\mbox{\scriptsize pri}})$는 사적인 공개를 포함하는 논리학이 공개적 공개를 포함하는 ${\cal L}_1({\mathbf{\Sigma}}{\mbox{\scriptsize pub}})$보다 엄격히 더 표현력이 뛰어나다.
• ${\cal L}({\mathbf{\Sigma}}{\mbox{\scriptsize pub}})$는 유한 모델 성질를 갖지 않으며, $[\text{Pub } \Diamond{\sf true}]^*\Diamond\Box{\sf false}$와 같은 문장이 오직 무한 모델에서 만족 가능하다는 점으로써 입증된다.