[논문 리뷰] Long paths and cycles in random subgraphs of H-free graphs

Michael Krivelevich, Wojciech Samotij|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $ \mathcal{H} $-free 그래프 $ G $ 의 랜덤 부분그래프 $ G_p $ 에서 최소 차수 $ k $ 이상일 때, $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 이면 $ k \to \infty $ 일 때 고려할 확률로 길이 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 이상의 사이클이 존재함을 입증한다. 여기서 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 는 평균 차수 $ \geq k $ 인 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 최소 정점 수이다. 이 결과는 랜덤 부분그래프에서 장거리 경로 및 사이클에 관한 고전적 결과를 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{H}$ be a given finite (possibly empty) family of connected graphs, each containing a cycle, and let $G$ be an arbitrary finite $\mathcal{H}$-free graph with minimum degree at least $k$. For $p \in [0,1]$, we form a $p$-random subgraph $G_p$ of $G$ by independently keeping each edge of $G$ with probability $p$. Extending a classical result of Ajtai, Komlós, and Szemerédi, we prove that for every positive $\varepsilon$, there exists a positive $δ$ (depending only on $\varepsilon$) such that the following holds: If $p \ge \frac{1+\varepsilon}{k}$, then with probability tending to $1$ as $k o \infty$, the random graph $G_p$ contains a cycle of length at least $n_{\mathcal{H}}(δk)$, where $n_{\mathcal{H}}(k)>k$ is the minimum number of vertices in an $\mathcal{H}$-free graph of average degree at least $k$. Thus in particular $G_p$ as above typically contains a cycle of length at least linear in $k$.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 부분그래프에서 장거리 경로 및 사이클에 관한 고전적 결과를 유한한 연결된 순환 그래프의 가족 $ \mathcal{H} $ 를 포함하는 $ \mathcal{H} $-free 그래프로 확장한다.
• 최소 차수 $ k $ 인 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 $ p $-랜덤 부분그래프에서 장거리 사이클이 나타나는 임계값을 규명하며, Erdős–Rényi 및 Ajtai–Komlós–Szemerédi 결과를 일반화한다.
• 장거리 사이클의 길이를 정량화하여 $ G_p $ 에서 최소한 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 의 길이를 가진 사이클이 존재함을 보인다. 여기서 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 는 평균 차수 $ \geq k $ 인 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 최소 정점 수이다.
• 특히 $ \mathcal{H} $ 가 공집일 경우 이 사이클 길이가 $ k $ 에 대해 선형임을 증명하여 $ G(n,p) $ 에서의 고전적 선형 길이 사이클 결과를 복원한다.
• 사이클 길이가 $ \varepsilon $, $ \delta $ 및 $ \mathcal{H} $ 의 구조에 따라 어떻게 달라지는지, 특히 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 의 渐近적 행동을 조사한다.

제안 방법

• $ G_p $ 를 최소 차수 $ k $ 이상인 유한한 $ \mathcal{H} $-free 그래프 $ G $ 의 $ p $-랜덤 부분그래프로 정의한다. 여기서 각 간선은 독립적으로 확률 $ p $ 로 유지된다.
• $ \mathrm{ex}(n, \mathcal{H}) $ 를 이용해 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 를 정의한다. 이는 $ \mathcal{H} $-free 그래프에서 평균 차수가 $ k $ 이상이 되기 위한 최소 정점 수 $ n $ 이다.
• 확률적 방법을 적용하여 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 일 때 $ G_p $ 가 고려할 확률로 $ \Omega(n) $ 개의 초과 간선을 포함함을 보이며, 이는 장거리 사이클 존재를 암시한다.
• 평균 차수가 적어도 $ c k $ 이상인 부분그래프를 유도하기 위해 $ G_p $ 내에서 루트를 가진 트리 $ R $ 을 구성한다. 여기서 $ c > 0 $ 이다.
• 초과 간선 수와 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 구조적 성질을 이용하여 작은 트리 성분의 수를 제한하고, 높은 평균 차수를 가진 큰 성분을 확보한다.
• 기존의 극한 그래프 이론의 경계, 예를 들어 $ \mathrm{ex}(3\ell, \mathcal{H}) \leq 10 \cdot \mathrm{ex}(\ell, \mathcal{H}) $ 를 활용하여 고차수 간선의 수를 제어하고 사이클 길이를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수 $ k $ 인 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 $ p $-랜덤 부분그래프에서 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 일 때 일반적으로 나타나는 가장 긴 사이클의 길이는 무엇인가?
• RQ2 $ \mathcal{H} $-family 가 사이클 길이에 어떻게 영향을 주는가? 특히 평균 차수 $ \geq k $ 인 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 최소 크기를 측정하는 함수 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 를 통해 영향을 받는다.
• RQ3 최소 차수 대신 평균 차수 $ k $ 로 대체되어도 임계값 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 가 $ G_p $ 에서 장거리 사이클을 보장할 수 있으며, 이 임계값은 최적인가?
• RQ4 $ \varepsilon $ 에 대한 사이클 길이의 의존성은 무엇이며, $ \mathcal{H} = \emptyset $ 인 경우 기존의 경계와 일치하도록 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 의 지수를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 $ \mathcal{H} $-free 그래프의 구조는 랜덤 부분그래프에서 장거리 사이클의 등장에 어떻게 影향을 미치는가? 특히 극한 그래프 이론의 제약 조건을 고려할 때 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ \delta > 0 $ 이 존재하여 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ 이면 $ k \to \infty $ 일 때 고려할 확률로 $ G_p $ 가 길이 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 이상의 사이클을 포함한다.
• $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 는 $ k $ 에 대해 초선형으로 증가하며, $ \mathcal{H} = \emptyset $ 일 경우 사이클 길이가 $ k $ 에 대해 선형이 되며, 이는 $ G(n,p) $ 에서의 고전적 결과를 복원한다.
• $ \delta $ 와 $ \varepsilon $ 의 의존성은 다항식이며, 이는 $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) \geq n_{\mathcal{H}}(c_{\mathcal{H}} \varepsilon^{\alpha_{\mathcal{H}}} k) $ 를 만족하는 상수 $ c_{\mathcal{H}}, \alpha_{\mathcal{H}} > 0 $ 이 존재함을 의미한다. 이는 $ \mathcal{H} $ 에 따라 달라진다.
• 증명은 $ G_p $ 가 고려할 확률로 $ \Omega(n) $ 개의 초과 간선을 포함함을 보이며, 이는 장거리 사이클 존재를 보장하는 데에 충분하다.
• 만약 $ G $ 가 정규 그래프이면 증명이 단순해지며, 고려할 확률로 길이 $ \frac{\varepsilon^2}{20C} \cdot k $ 이상의 사이클이 존재함을 보일 수 있다. 여기서 $ C $ 는 절대 상수이다.
• $ \frac{n_{\mathcal{H}}(k)}{n_{\mathcal{H}}(\delta k)} $ 의 비율은 $ \delta + o(1) $ 이하로 유계이다. 그러나 많은 $ \mathcal{H} $, 특히 이분 그래프의 경우 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ 의 증가율은 잘 이해되어 있지 않아 $ \delta < 1 $ 일 때 비율이 유계인지 여부는 여전히 열려있다.