[논문 리뷰] Long-range entanglement from measuring symmetry-protected topological phases

Nathanan Tantivasadakarn, Ryan Thorngren외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 02.

Advanced Electron Microscopy Techniques and Applications참고 문헌 158인용 수 42

한 줄 요약

논문은 측정으로 대칭성 보호 위상(SPT)으로부터 장거리 얽힘을 생성할 수 있음을 보여주며, cluster-state 기반 entangler를 통해 Kramers-Wannier 및 Jordan-Wigner 변환을 구현한다.

ABSTRACT

A fundamental distinction between many-body quantum states are those with short- and long-range entanglement (SRE and LRE). The latter cannot be created by finite-depth circuits, underscoring the nonlocal nature of Schrödinger cat states, topological order, and quantum criticality. Remarkably, examples are known where LRE is obtained by performing single-site measurements on SRE, such as the toric code from measuring a sublattice of a 2D cluster state. However, a systematic understanding of when and how measurements of SRE give rise to LRE is still lacking. Here, we establish that LRE appears upon performing measurements on symmetry-protected topological (SPT) phases -- of which the cluster state is one example. For instance, we show how to implement the Kramers-Wannier transformation by adding a cluster SPT to an input state followed by measurement. This transformation naturally relates states with SRE and LRE. An application is the realization of double-semion order when the input state is the $\mathbb Z_2$ Levin-Gu SPT. Similarly, the addition of fermionic SPTs and measurement leads to an implementation of the Jordan-Wigner transformation of a general state. More generally, we argue that a large class of SPT phases protected by $G imes H$ symmetry gives rise to anomalous LRE upon measuring $G$-charges, and we prove that this persists for generic points in the SPT phase under certain conditions. Our work introduces a new practical tool for using SPT phases as resources for creating LRE, and uncovers the classification result that all states related by sequentially gauging Abelian groups or by Jordan-Wigner transformation are in the same equivalence class, once we augment finite-depth circuits with single-site measurements. In particular, any topological or fracton order with a solvable finite gauge group can be obtained from a product state in this way.

연구 동기 및 목표

• 다-body 상태에서의 단거리 얽힘과 장거리 얽힘의 구분에 대한 동기를 제시하고, SRE 상태에 대한 측정으로 LRE가 언제 생성될 수 있는지 식별한다.
• 측정이 SPT 위상을 유도한다는 것을 보여주고, 이를 SPT의 이상현상 및 경계 물리와 연결한다.
• 측정 보조 SPT 얽힘 작용으로 KW 및 JW 변환을 구현하는 방법을 보인다.
• 이 프레임워크에서 유도되는 위상 질서(예: 이중 semion) 및 페르모닉 SPT의 예를 제시한다.
• 일반적인 분류를 제안한다: 측정과 더해진 상태에서 연속 게이징 또는 Jordan-Wigner 변환에 의해 관련된 상태들은 같은 등가 클래스에 속한다.

제안 방법

• 가까운 이웃에 대한 CZ 게이트의 곱으로 정의된 cluster state entangler U_CZ를 정의한다.
• U_CZ로 얽힌 후 부분 격자를 측정하면 Kramers-Wannier(KW) 이중화를 구현한다.
• KW가 입력 상태를 장거리 얽힘 상태(GHZ 1D, toric code 2D)로 매핑함을 보인다.
• G×H 대칭을 갖는 SPT를 포함하도록 프레임워크를 확장하고 G-전하를 측정할 때 LRE가 발생함을 보인다.
• 페르모닉 SPT에도 유사한 절차를 적용하여 JW 변환을 실현한다.
• 대칭 분수화(symmetric fractionalization) 주장을 사용하여 LRE가 SPT 위상 전체에서 강건하다고 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SPT 위상을 측정할 때 어떤 조건에서 장거리 얽힘이 생성되는가?
• RQ2 KW 및 JW 변환을 측정 보조 cluster-state 프로토콜로 어떻게 구현할 수 있는가?
• RQ3 측정으로 어떤 위상 질서가 생성되며, 이는 알려진 모델(예: 이중 semion, 토릭 코드)과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Bosonic에서 fermionic SPT로 확장할 때 이 메커니즘이 얼마나 일반적인가? 더 높은 G×H 대칭에서도 어떤가?
• RQ5 순차적 게이잉과 JW 변환 사이의 관계, 그리고 유한 깊이 회로 및 측정으로 구성된 상태의 결과적 등가 클래스는 어떻게 되는가?

주요 결과

• LRE는 고정점 SPT 파동함수뿐만 아니라 SPT 위상을 측정할 때 나타난다.
• 단일 사이트 측정과 결합된 cluster-state entangler는 입력 상태에 대해 KW 이중화를 구현한다.
• A 서브격자에서 Levin-Gu Z2 SPT를 측정하면 이중 semion 위상 질서를 얻을 수 있다.
• 페르모닉의 경우, 일반 상태에 대해 JW 변환을 구현하는 절차를 제공한다.
• G×H 대칭에 의해 보호되는 광범위한 SPT 위상군은 G 전하를 측정할 때 이상한 LRE를 낳으며, SPT 데이터와 출현하는 LRE를 연결한다.
• Abelian 그룹의 순차 게이징 또는 JW 변환으로 관련된 상태들은 유한 깊이 회로와 측정으로 보강될 때 같은 등가 클래스에 속한다.