[논문 리뷰] Long range scattering for nonlinear Schrödinger equations with critical homogeneous nonlinearity

Satoshi Masaki, Hayato Miyazaki|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 14.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원에서 임계 동차 비선형성을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 장거리 산산 이론에서 수정된 파동 연산자의 존재를 위한 충분조건을 확립한다. 비선형성을 푸리에 급수를 통해 공진성과 비공진성 성분으로 분해함으로써, 비공진성 급수의 수렴을 보장하는 푸리에 계수에 대한 감쇠 조건을 도출하였으며, 이는 다항식이 아닌 비선형성에 대해 수정된 파동 연산자를 구성할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the final state problem for the nonlinear Schrödinger equation with a homogeneous nonlinearity which is of the long range critical order and is not necessarily a polynomial, in one and two space dimensions. As the nonlinearity is the critical order, the possible asymptotic behavior depends on the shape of the nonlinearity. The aim here is to give a sufficient condition on the nonlinearity to construct a modified wave operator. To deal with a non-polynomial nonlinearity, we decompose it into a resonant part and a non-resonant part via the Fourier series expansion. Our sufficient condition is then given in terms of the Fourier coefficients. In particular, we need to pay attention to the decay of the Fourier coefficients since the non-resonant part is an infinite sum in general.

연구 동기 및 목표

• 임계 동차 비선형성을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 소규모이자 저주파수 해의 점점 향한 행동을 규명하는 것.
• 다항식 비선형성에 국한되지 않고 임계 순서의 일반 동차 비선형성으로까지 장거리 산산 이론을 확장하는 것.
• 수렴성과 수정된 파동 연산자의 존재를 보장하는 비선형성에 대한 충분조건을 푸리에 계수의 형태로 수립하는 것.
• 특히 비선형성의 푸리에 계수 감쇠가 수렴에 결정적인 역할을 할 때, 비다항식의 경우 비공진성 부분을 무한급수로 다루는 데서 발생하는 과제를 해결하는 것.

제안 방법

• 비선형성 $ F(u) $를 단위 원주 위의 주기적 함수 $ g(\theta) $로 표현함으로써, 동차성의 성질을 이용해 문제를 각도 의존성으로 단순화한다.
• 함수 $ g(\theta) $를 푸리에 급수로 전개하여 $ F(u) $를 공진성 성분(영주기 항)과 비공진성 성분(고조파)으로 분해한다.
• 비공진성 성분을 $ |u|^{2m+1}u $ 형태의 항들의 무한합으로 분석하며, 이때 계수는 푸리에 전개로부터 유도된다.
• 푸리에 계수 $ g_n $의 감쇠 성질을 이용하여 비공진성 항들에 대한 $ L^2 $-형 추정을 수립하며, 특히 $ |g_n| \lesssim |n|^{-\beta} $ (여기서 $ \beta > 0 $) 를 요구한다.
• 해의 노름을 통제하고 고정점 추론에서 수축성을 증명하기 위해 가중 함수 공간 $ X_{d,T,b} $ 내에서 스트리카르츠 및 스무딩 추정을 사용한다.
• 비선형성의 립시츠 연속성을 푸리에 계수의 관점에서 증명함으로써 적분형식의 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 슈뢰딩거 방정식이 장거리 산산 영역에서 수정된 파동 연산자를 갖기 위한 비선형성 조건은 무엇인가?
• RQ2 비다항식 동차 비선형성의 비공진성 부분을 다룰 수 있는 방법은 무엇인가, 특히 그것이 무한급수를 이룰 때 감쇠성이 수렴에 결정적인 역할을 할 경우에 대해 설명하라.
• RQ3 비선형성의 푸리에 계수에 대해 어떤 감쇠율이 비공진성 급수의 수렴성과 수정된 파동 연산자의 존재를 보장하는가?
• RQ4 비선형성이 다항식이 아닐 경우, 예를 들어 2차원에서 $ F(u) = |\operatorname{Re} u| \operatorname{Re} u $ 라면 해의 점점 향한 행동는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 공진성 항($ g_0 $에 의해 지배됨)이 비공진성 항들과 비교하여 장거리 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수렴성과 수정된 파동 연산자의 존재를 보장하는 충분조건이 비선형성의 푸리에 계수 $ g_n $ 에 대해 유도되었다: 만약 어떤 $ \beta > 0 $ 에 대해 $ |g_n| \lesssim |n|^{-\beta} $ 를 만족하면, 비공진성 급수는 관련 함수 공간 내에서 수렴한다.
• 2차원에서 비선형성 $ F(u) = |\operatorname{Re} u| \operatorname{Re} u $ 는 비공진성 부분이 계수 감쇠로 인해 수렴하고 공진성 항이 비영이므로 장거리 성격을 띤다.
• 고정점 추론을 통해 구성된 해는 공간 $ X_{d,T,b} $ 에 속하며, 노름 추정을 통해 $ \|\Phi(v)\|_{X_{d,T,b}} < 1 $ 이 되어 큰 $ T $ 에서 존재성과 유일성을 보장한다.
• 공간 $ X_{d,T,b} $ 내에서의 수축성 사고는 $ \|g\|_{\text{Lip}} \varepsilon^{2/d} $ 의 소형성에 의존하며, 이는 $ g $ 의 립시츠 상수에 따라 $ \varepsilon $ 를 충분히 작게 선택함으로써 확보된다.
• 해의 점점 향한 행동는 $ u(t) \sim (2it)^{-d/2} e^{i|x|^2/4t} \widehat{u_+}(x/(2t)) \exp(-i \mu |\widehat{u_+}(x/(2t))|^{2/d} \log t) $ 의 형태를 띠며, 공진성 항이 비영일 경우 장거리 산산이 확인된다.
• 논문은 비선형성을 매개하는 함수 $ g(\theta) $ 의 립시츠 연속성이 점별 추정 $ |F(u) - F(v)| \leq C(|u|^{2/d} + |v|^{2/d})|u - v| $ 와 동치임을 증명하였으며, 이는 수축성 추론에 핵심적이다.