[논문 리뷰] Long Tail Behavior of Queue Lengths in Broadband Networks: Tsallis Entropy Framework

Karmeshu, Shachi Sharma|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 11.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 광대역 네트워크에서 장꼬리 대기열 길이 분포를 모델링하기 위해 타살리스 엔트로피 기반 최대 엔트로피 프레임워크를 제안하며, 엔트로피 매개수 q < 1일 때는 멱법칙 행동이 나타남을 보여준다. 대기열 길이 확률에 대한 명시적 표현을 유도하고, 낮은 교통 강도일 경우 시스템 이용도가 M/M/1 수준 이하로 떨어질 수 있음을 보이며, 교통 강도 r과 라그랑주 승수 b 사이의 비선형 관계는 다양한 q 값에서 b에 대한 지수항과 멱법칙항을 포함한다.

ABSTRACT

A maximum entropy framework based on Tsallis entropy is proposed to depict long tail behavior of queue lengths in broadband networks. Queue length expression as measured in terms of number of packets involves Hurwitz-zeta function. When the entropy parameter q in Tsallis entropy is less than unity, the distribution of packets yields power law behavior. In the limit q tending to unity, Tsallis entropy expression reduces to one due to Shannon and well-known results of M/M/1 queuing system are recovered. Relationship between Tsallis entropy parameter q and Hurst parameter H (measure of self-similarity) is postulated. A numerical procedure based on Newton-Raphson method is outlined to compute Lagrange's parameter b. Various relationships between traffic intensity r and Lagrange's parameter b are examined using data generated from mean number of packets from storage model due to Norros. It is found that best fit corresponds to r being a linear combination of decaying exponential and power exponent in b for different values of entropy parameter q. Explicit expression for the probability that queue size exceeds a certain value is derived and it is established that it asymptotically follows power law for q less than one. The system utilization shows an interesting behavior when the parameter r is varied. It attains lower values than that of M/M/1 system for smaller values of r whereas situation reverses for higher values of r.

연구 동기 및 목표

• 비광범위 통계역학 접근법을 사용하여 광대역 네트워크에서 장꼬리 대기열 길이 분포를 모델링하기.
• 타살리스 엔트로피 매개수 q와 교통의 자기유사성을 반영하는 허스트 매개수 H 사이의 관계를 조사하기.
• 대기열 크기가 임계값을 초과할 확률에 대한 닫힌 형태의 표현을 유도하고, 그 점근적 멱법칙 행동을 확립하기.
• 다양한 교통 강도 r과 엔트로피 매개수 q에서 시스템 이용도의 행동을 검토하기.
• 라그랑주 승수 b를 계산하기 위한 수치적 절차를 개발하기 (뉴턴-라프슨 방법 기반)

제안 방법

• q < 1인 타살리스 엔트로피를 사용하여 비광범위 시스템을 모델링하고, 멱법칙 분포를 유도한다.
• 평균 대기열 크기와 정규화 조건을 고려하여 최대 엔트로피 원리에 기반한 대기열 길이 분포를 유도한다.
• 결과로 얻어진 분포는 히르체츠-제타 함수를 포함하며, q < 1일 때 멱법칙 감쇠를 보인다.
• 평균 대기열 크기에서 라그랑주 승수 b를 계산하기 위해 뉴턴-라프슨 반복 기반 수치 방법을 사용한다.
• 다양한 q 값에서 교통 강도 r과 b 사이의 관계는 b에 대한 감쇠 지수함수와 멱법칙 함수의 선형 조합으로 모델링된다.
• 꼬리 확률의 점근적 행동은 해석적으로 유도되었으며, q < 1일 때 멱법칙 감쇠를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타살리스 엔트로피 매개수 q는 광대역 네트워크에서 대기열 길이의 장꼬리 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 제안된 프레임워크에서 교통 강도 r과 라그랑주 승수 b 사이의 기능적 관계는 무엇인가?
• RQ3 다양한 r과 q에서 타살리스 기반 모델의 시스템 이용도는 고전적 M/M/1 대기열과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 타살리스 엔트로피 모델 하에서 대기열 크기가 x를 초과할 확률 P(대기열 크기 > x)의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ5 자기유사성을 반영하는 허스트 매개수 H는 이 프레임워크에서 엔트로피 매개수 q와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• q < 1일 경우, 대기열 길이 분포는 멱법칙 행동을 보이며, 광대역 트래픽의 장꼬리 특성을 확인한다.
• q가 1에 가까워질수록 타살리스 엔트로피는 샤논 엔트로피로 감소하며, 모델은 표준 M/M/1 대기열 결과를 회복한다.
• q < 1일 경우, 대기열 크기가 임계값을 초과할 확률은 점근적으로 멱법칙을 따르며, 분포의 장꼬리 성격을 검증한다.
• 낮은 교통 강도 r 값에서 시스템 이용도는 M/M/1 모델보다 낮지만, 더 높은 r에서는 이를 초월하여 비단조화적 행동을 보인다.
• b에 대한 r의 최적 피팅 모델은 감쇠 지수함수와 멱법칙 함수의 선형 조합이며, 계수는 엔트로피 매개수 q에 따라 달라진다.
• 라그랑주 승수 b의 수치적 해는 뉴턴-라프슨 방법을 사용하여 효율적으로 계산되며, 이는 프레임워크의 실용적 구현을 가능하게 한다.