[논문 리뷰] Long Term Risk: A Martingale Approach

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 65인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 마팅게일 방법을 사용하여 일반적인 세미마링게일 환경으로 확장된 확률 할인 요인의 장기 인과 분해를 다루며, 장기 포워드 측도 하에서 장기적 위험-수익 트레이드오프가 사라짐을 보여주어 이는 장기적 위험중립 측도로 해석되며, 마르코프성 가정 없이 이산시간 및 마르코프 기반 프레임워크를 통합한다.

ABSTRACT

This paper extends the long-term factorization of the stochastic discount factor introduced and studied by Alvarez and Jermann (2005) in discretetime ergodic environments and by Hansen and Scheinkman (2009) and Hansen (2012) in Markovian environments to general semimartingale environments. The transitory component discounts at the stochastic rate of return on the long bond and is factorized into discounting at the long-term yield and a positive semimartingale that extends the principal eigenfunction of Hansen and Scheinkman (2009) to the semimartingale setting. The permanent component is a martingale that accomplishes a change of probabilities to the long forward measure, the limit of T-forward measures. The change of probabilities from the data generating to the long forward measure absorbs the long-term risk-return trade-off and interprets the latter as the long-term risk-neutral measure.

연구 동기 및 목표

• 마르코프성 및 이산시간 설정을 초월하여 장기적 할인 요인의 인과 분해를 일반화하는 것.
• 연속시간 세미마링게일 모형에서 T-포워드 측도의 극한으로서 장기 포워드 측도를 수립하는 것.
• 스토케스틱으로 증가하는 현금흐름에 대한 장기적 위험 프리미엄이 장기 포워드 측도 하에서 사라짐을 보여주는 것.
• 앨바레즈와 제르만(2005)의 이산시간 결과와 한센 및 샤인크먼(2009), 한센(2012)의 마르코프 기반 연산자 기반 결과를 통합하는 것.
• 마르코프성 또는 에르고딕성 가정에 의존하지 않는 장기 자산 가격 정책의 엄밀한 세미마링게일 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 연속시간에서 세미마링게일 분해를 사용하여 일반화된 비마르코프 환경으로 할인 요인을 모델링하는 것.
• 만기 T → ∞ 일 때 T-포워드 측도의 약한 극한으로서 장기 포워드 측도를 구성하는 것.
• 가격 결정 커널의 영구 성분을 정규화된 마팅게일로 식별하여 장기 포워드 측도로의 측도 전환을 유도하는 것.
• 일시적 성분을 장기 수익률 λ와 장기 포워드 측도로 확장된 페르론-프로베니우스 고유함수를 일반화한 양의 세미마링게일로 인과 분해하는 것.
• OBP(지수적 에르고딕성) 가정을 도입하여 채권 가격과 포워드 측도의 전체 변화 및 ucp 위상에서의 수렴을 보장하는 것.
• 세미마링게일 수렴 이론을 적용하여 장기 가격 근사의 오차 한계를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기 할인 요인의 인과 분해는 마르코프성 및 이산시간 모형을 초월하여 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 세미마링게일 모형에서 장기 포워드 측도는 장기적 위험 조정을 흡수하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 장기 포워드 측도가 존재하고 재귀적 고유측도와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 가격 결정 커널의 마팅게일 성분은 장기적 위험-수익 트레이드오프에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비마르코프 설정에서 명시적인 수렴 속도를 갖는 장기 가격 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 장기 포워드 측도는 T-포워드 측도의 극한으로 존재하며, 장기적 위험중립 측도로 기능하며, 이 하에서 장기적 위험 프리미엄이 사라진다.
• 장기 수익률 λ는 조건부 모멘트가 유계인 현금흐름의 점근적 수익률로 식별되며, 비마르코프 설정에서도 성립한다.
• λ = 0 인 특수한 경우에 점근적 거듭제곱 수익률이 정의되며, 이는 장기 가격 정책 프레임워크를 초지수적 할인으로 확장한다.
• 지수적 에르고딕성 조건 하에서 채권 가격과 포워드 측도의 장기 극한으로의 수렴 속도는 α > 0 인 지수적 속도로 이루어진다.
• 유계 수익에 대한 장기 가격 공식의 오차는 c‖f‖∞e−(λ+α)t 로 유계지며, 이는 빠른 수렴을 보장한다.
• 마팅게일 성분은 데이터 생성 측도와 장기 포워드 측도 사이의 괴리를 이끌어내며, 퀸 등(2016)의 연구에서 채권 시장에서 실증적으로 중요한 영향을 미친다.