[논문 리뷰] Long time behavior of 2d water waves with point vortices

Qingtang Su|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 03.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 49인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한 깊이가 아닌 무한 깊이에서 점 난류를 갖는 2차원 비점성 비압축성 수면파의 장기적 역학을 조사한다. 타일러 부호 조건 하에서 국소 적으로 잘 정의되어 있음을 증명하고, 아래로 이동하는 대칭 난류 쌍이 자유 표면을 매끄럽게 유지함을 보여주며, 초기 데이터 $ \epsilon \ll 1 $ 이 작은 경우 수명이 적어도 $ O(\epsilon^{-2}) $ 이상임을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the motion of the two dimensional inviscid incompressible, infinite depth water waves with point vortices in the fluid. We show that Taylor sign condition $-\frac{\partial P}{\partial \boldmath{n}}\geq 0$ can fail if the point vortices are sufficient close to the free boundary, so the water waves could be subject to the Taylor instability. Assuming the Taylor sign condition, we prove that the water wave system is locally wellposed in Sobolev spaces. Moreover, we show that if the water waves is symmetric with a certain symmetric vortex pair traveling downward initially, then the free interface remains smooth for a long time, and for initial data of size $ε\ll 1$, the lifespan is at least $O(ε^{-2})$.

연구 동기 및 목표

• 유체 내 점 난류를 갖는 2차원 무한 깊이 수면파의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 난류가 자유 표면에 가까이 있을 경우 타일러 부호 조건 $ -\partial_n P \geq 0 $ 가 성립하지 않을 수 있는지 조사하는 것.
• 타일러 부호 조건 하에서 소볼레프 공간에서 국소 적으로 잘 정의되어 있음을 확립하는 것.
• 대칭적인 초기 조건과 아래로 이동하는 난류 쌍이 있는 경우, 매끄러운 해의 장기 존재를 증명하는 것.
• 작은 초기 데이터 $ \epsilon \ll 1 $ 에 대해 매끄러운 해의 수명을 정량화하여 적어도 $ O(\epsilon^{-2}) $ 이상임을 보이는 것.

제안 방법

• 자유 경계를 매개변수화하고 표면 및 속도의 진화 방정식을 유도하기 위해 라그랑주 좌표계를 사용한다.
• 복잡한 기하학을 다루기 위해 비르코프-리치 변환을 적용하여 문제를 단위 원 위의 시스템으로 환원한다.
• 비선형 항을 소볼레프 노름에서 제어하기 위해 힐버트 변환과 교환자 추정을 적용한다.
• 정규성의 변화를 추적하기 위해 $ \mathfrak{F} $, $ D_t\mathfrak{F} $, 및 $ \zeta_\alpha - 1 $ 를 포함하는 수정된 에너지 함수를 도입한다.
• 소형성 조건 $ \epsilon $ 과 난류 간격을 이용해 연속성 추론과 부트스트랩 추정을 통해 해의 수명을 연장한다.
• 소볼레프 임베딩과 $ L^\infty $ 제어를 적용하여 시간에 따른 라그랑주 매핑의 도함수 $ \kappa_\alpha $ 의 변화를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점 난류가 자유 표면에 가까이 있을 경우 타일러 부호 조건이 성립하지 않을 수 있으며, 이는 타일러 불안정성으로 이어질 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 점 난류를 갖는 수면파 시스템이 소볼레프 공간에서 국소 적으로 잘 정의되어 있는가?
• RQ3 초기 난류 구성이 대칭적일 경우(특히 아래로 이동하는 난류 쌍이 있는 경우) 장기적으로 매끄러운 진동이 유지되는가?
• RQ4 작은 초기 데이터 $ \epsilon \ll 1 $ 에 대해 매끄러운 해의 수명에 대한 정량적 하한은 무엇인가?
• RQ5 난류에 의해 유도된 속도장과 그 특이성은 자유 표면의 장기적 정규성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 점 난류가 자유 경계에 충분히 가까이 있을 경우 타일러 부호 조건 $ -\partial_n P \geq 0 $ 가 성립하지 않을 수 있으며, 이는 잠재적 타일러 불안정성을 시사한다.
• 타일러 부호 조건 하에서 점 난류를 갖는 수면파 시스템은 소볼레프 공간 $ H^s $ 에서 $ s > 5/2 $ 에 대해 국소 적으로 잘 정의되어 있다.
• 아래로 이동하는 난류 쌍이 있는 대칭적인 초기 데이터의 경우, 자유 표면은 $ \epsilon \ll 1 $ 일 때 적어도 $ O(\epsilon^{-2}) $ 의 시간 간격 동안 매끄럽게 유지된다.
• 수명 추정치 $ O(\epsilon^{-2}) $ 는 에너지 추정과 라그랑주 매핑 도함수 $ \kappa_\alpha $ 의 $ L^\infty $ 제어를 이용한 부트스트랩 추론을 통해 유도된다.
• 분석 결과, 타일러 조건이 유지되고 초기 데이터가 작을 경우 난류에 의해 유도된 회전 운동장은 표면을 불안정하게 하지 않는 것으로 나타났다.
• 증명은 $ \|\zeta_\alpha - 1\|_{H^s} $, $ \|\mathfrak{F}\|_{H^{s+1/2}} $, 및 $ \|D_t\mathfrak{F}\|_{H^s} $ 의 차이를 $ O(\epsilon) $ 내로 제어하는 데 의존하여 정규성의 지속성을 보장한다.