[논문 리뷰] Long time behavior of random and nonautonomous Fisher-KPP equations. Part I. Stability of equilibria and spreading speeds

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 04.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 37인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 성장률이 유계이거나 균일하게 양이 아니라는 가정 없이, 무작위 및 비자율적인 피셔-켈프-피터슨(Fisher-KPP) 방정식의 비음성 해의 장기적 행동을 조사한다. 양의 평형해 $ u=1 $의 점근적 안정성을 확립하고, 결정론적 전파 속도 간격 $[2\sqrt{\underline{a}}, 2\sqrt{\bar{a}}]$를 도출하며, $ a(\omega) $ 또는 $ a_0(t) $ 가 일부 영역에서 무한대가 되거나 0이 되더라도 선형 결정성 전파 속도를 증명한다.

ABSTRACT

In the current series of two papers, we study the long time behavior of the following random Fisher-KPP equation $$ u_t =u_{xx}+a(θ_tω)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R} $$ where $ω\inΩ$, $(Ω, \mathcal{F},\mathbb{P})$ is a given probability space, $θ_t$ is an ergodic metric dynamical system on $Ω$, and $a(ω)>0$ for every $ω\inΩ$. We also study the long time behavior of the following nonautonomous Fisher-KPP equation, $$ u_t=u_{xx}+a_0(t)u(1-u),\quad x\in\mathbb{R}$$ where $a_0(t)$ is a positive locally Hölder continuous function. In this first part of the series, we investigate the stability of positive equilibria and the spreading speeds. Under some proper assumption on $a(ω)$, we show that the constant solution $u=1$ of (1) is asymptotically stable with respect to strictly positive perturbations and show that (1) has a deterministic spreading speed interval $[2\sqrt{\underline a}, 2\sqrt{\bar a}]$, where $\underline{a}$ and $\bar a$ are the least and the greatest means of $a(\cdot)$, respectively, and hence the spreading speed interval is linearly determinant. It is shown that the solution of (1) with the initial function which is bounded away from $0$ for $x\ll -1$ and is $0$ for $x\gg 1$ propagates at the speed $2\sqrt {\hat a}$, where $\hat a$ is the average of $a(\cdot)$. Under some assumption on $a_0(\cdot)$, we also show that the constant solution $u=1$ of (2) is asymptotically stably and (2) admits a bounded spreading speed interval. It is not assumed that $a(ω)$ and $a_0(t)$ are bounded above and below by some positive constants. The results obtained in this part are new and extend the existing results in literature on spreading speeds of Fisher-KPP equations. In the second part of the series, we will study the existence and stability of transition fronts of (1) and (2).

연구 동기 및 목표

• 시간 및 공간에 따라 변화하는 성장률이 유계이거나 양이 아니더라도, 비자율적 및 무작위 피셔-켈프-피터슨 방정식의 장기적 역학을 분석하는 것.
• 시간 및 공간에 따라 변화하는 성장률에 대한 일반적인 조건 하에서 양의 평형해 $ u=1 $의 점근적 안정성을 확립하는 것.
• 성장률의 하한이 0보다 크거나 상한이 유한하다는 가정 없이, 무작위 및 비자율 피셔-켈프-피터슨 방정식의 전파 속도 간격을 결정하는 것.
• 기존의 전파 속도 및 점령 성질에 대한 고전 결과를 더 일반적이고 덜 규칙적인 성장률 함수로 확장하는 것.
• 시리즈의 두 번째 부분에서 전이 파면을 연구하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 무작위 시간에 따라 변화하는 계수 $ a(\theta_t\omega) $ 를 모델링하기 위해 에르고딕 메트릭 동역학계를 활용한다.
• 무작위 케이스에서 장기적 행동를 분석하고 전파 속도를 유도하기 위해 하향합성 에르고딕 정리를 적용한다.
• 비자율 방정식의 해를 유 bounds하기 위해 비교 원리와 일정 계수를 가진 보조 해를 활용한다.
• 해의 감쇠와 전파를 제어하기 위해 지수 함수와 시간에 따라 변화하는 포텐셜을 사용하여 명시적 초해를 구성한다.
• 이동 기준좌표계 방법과 전파 파동 유형 추정을 활용하여 비자율 설정에서 전파 속도를 분석한다.
• 효율 성장률 $ \underline{a} $ 와 $ \bar{a} $ 를 가진 일정 계수 피셔-켈프-피터슨 방정식과 비교하여 전파 속도의 선형 결정성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 피셔-켈프-피터슨 방정식에서 성장률 $ a(\omega) $ 가 유계가 아니거나 0에 가까워질 경우, 양의 평형해 $ u=1 $ 는 어떤 조건에서 점근적으로 안정한가?
• RQ2 성장률 $ a(\omega) $ 가 0에서 일정하게 떨어지지 않거나 유한하지 않더라도, 무작위 피셔-켈프-피터슨 방정식의 전파 속도 간격은 무엇인가?
• RQ3 성장률 $ a_0(t) $ 가 유계가 아니면, 비자율 피셔-켈프-피터슨 방정식의 전파 속도는 시간 평균 성장률 $ \hat{a} $ 와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 성장률 $ a(\omega) $ 또는 $ a_0(t) $ 가 일정한 하한 및 상한이 없을 경우에도 전파 속도는 선형 결정성이 유지되는가?
• RQ5 성장률이 비정규적이거나 무한대일 경우에도 점령 성질(즉, 속도 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ 로 전파)이 유지되는가?

주요 결과

• 성장률 $ a(\omega) $ 가 0에서 일정하게 떨어지지 않더라도, 무작위 피셔-켈프-피터슨 방정식에서 상수해 $ u=1 $ 은 엄밀히 양의 초기 변화에 대해 점근적으로 안정하다.
• 무작위 피셔-켈프-피터슨 방정식은 결정론적 전파 속도 간격 $[2\sqrt{\underline{a}}, 2\sqrt{\bar{a}}]$ 를 갖는다. 여기서 $ \underline{a} $ 와 $ \bar{a} $ 는 각각 $ a(\omega) $ 의 본질적 하한 및 상한이다.
• 초기 조건이 $ x \ll -1 $ 에서 1이고 $ x \gg 1 $ 에서 0이면, 해는 속도 $ 2\sqrt{\hat{a}} $ 로 전파되며, 여기서 $ \hat{a} $ 는 $ a(\cdot) $ 의 평균이다.
• 비자율 피셔-켈프-피터슨 방정식의 경우, $ a_0(t) $ 에 대한 약한 조건 하에서 양의 평형해 $ u=1 $ 이 점근적으로 안정하다. 이는 $ \inf a_0(t) = 0 $ 이나 $ \sup a_0(t) = \infty $ 일 경우에도 성립한다.
• 비자율 케이스의 전파 속도 간격은 유계이며 시간 평균 성장률 $ \underline{a}_0 $ 과 $ \overline{a}_0 $ 에 따라 달라지며, 선형 결정성이 유지된다.
• 예를 들어 $ \inf a_0(t) = 0 $, $ \sup a_0(t) = \infty $ 이지만 $ \underline{a}_0 = 1 $, $ \overline{a}_0 = 2 $ 를 만족하는 $ a_0(t) $ 의 명시적 예를 구성하여, 이 이론이 매우 비정규적인 성장률에 적용 가능함을 보여준다.