[논문 리뷰] Long time behaviour and turnpike solutions in mildly non-monotone mean field games

Marco Cirant, Alessio Porretta|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 해밀토니안의 국소 균일 볼록성과 가우시안 노이즈 조건 하에서 약간의 비단조화성을 가진 평균장 게임 시스템의 잘 정의성과 장기적 거동을 확립한다. 논문은 단조성 조건이 필요 없이, 확산에 의해 유도되는 정규화를 통해 약한 반단조성에 대비하여 전도성 성질(turnpike property), 에르고딕 해로의 수렴성, 할인율이 0으로 수렴하는 극한에서의 수렴성을 증명한다.

ABSTRACT

We consider mean field game systems in time-horizon $(0,T)$, where the individual cost functional depends locally on the density distribution of the agents, and the Hamiltonian is locally uniformly convex. We show that, even if the coupling cost functions are mildly non-monotone, then the system is still well posed due to the effect of individual noise. The rate of anti-monotonicity (i.e. the aggregation rate of the cost functions) which can be afforded depends on the intensity of the diffusion and on global bounds of solutions. We give applications to either the case of globally Lipschitz Hamiltonians or the case of quadratic Hamiltonians and couplings having mild growth. Under similar conditions, we investigate the long time behavior of solutions and we give a complete description of the ergodic and long term properties of the system. In particular we prove: (i) the turnpike property of solutions in the finite (long) horizon $(0,T)$, (ii) the convergence of the system in $(0,T)$ towards the system in $(0,\infty)$, (iii) the vanishing discount limit of the infinite horizon problem and the long time convergence towards the ergodic stationary solution. This way we extend previous results which were known only for the case of monotone and smoothing couplings; our approach is self-contained and does not need the use of the linearized system or of the master equation.

연구 동기 및 목표

• 일반적으로 유일성과 안정성에 필요로 하는 단조성 함수를 초월한 평균장 게임 이론을 확장하기 위해.
• 개별 노이즈(확산)가 비용 함수의 약한 반단조성에 대해 어느 정도 보완할 수 있는지 조사하기 위해.
• 유한 및 무한 수명 주기 설정에서 전도성 성질과 장기적으로 에르고딕 해로 수렴하는 성질을 확립하기 위해.
• 선형화된 시스템이나 마스터 방정식 프레임워크에 의존하지 않는 자가 일관된 분석을 제공하기 위해.
• 이전의 장기 거동 결과를 비단조화성, 국소 리프시츠 또는 이차형 해밀토니안, 약한 성장 조건을 갖는 커플링 함수로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 토러스 $\mathbb{T}^d$ 위에서 해밀턴-자코비-벨만 방정식과 포크-플랑크 방정식을 연결하는 정방향-역방향 PDE 시스템을 분석한다.
• 해밀토니안의 국소 균일 볼록성과 해의 전역 유계성을 이용해 반단조성의 영향을 제어한다.
• 에너지 추정과 그로나발 유형 부등식을 적용하여 밀도 및 가치 함수의 차이에 대한 $L^2$-유계를 도출한다.
• 포크-플랑크 방정식에 대해 두하멜의 원리와 커플레션 추정을 적용하여 정규성과 적분 가능성을 제어한다.
• 지수 가중치를 사용한 가중치 $L^2$-추정을 통해 할인율이 0으로 수렴하는 극한과 장기 수렴성을 분석한다.
• 포크-플랑크 방정식에 대한 정규성 보조정리를 적용하여, 밀도의 $L^{p'}$ 노름을 유동 및 초기 조건에 대한 함수로 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 커플링 비용 함수가 약간의 비단조화성을 가질 경우 평균장 게임 시스템이 여전히 잘 정의될 수 있는가?
• RQ2 확산의 영향 하에서 비용 함수의 반단조성은 어느 정도까지 용납될 수 있는가?
• RQ3 비단조화성 커플링이 있는 유한 수명 주기 평균장 게임에서 전도성 성질이 성립하는가?
• RQ4 비단조화성이 없을 경우 $T \to \infty$ 로 갈수록 해의 장기적 거동은 어떠한가?
• RQ5 비단조화성 커플링이 있는 무한 수명 주기 문제에서 할인율이 0으로 수렴하는 극한은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 확산 강도와 해의 유계성이 반단조성에 대비할 수 있을 정도로 충분할 경우, 커플링 비용 함수가 약간의 비단조화성을 가질지라도 시스템은 여전히 잘 정의된다.
• 유한 수명 주기 문제에서 전도성 성질이 성립한다: 해는 시간 간격의 대부분 동안 에르고딕 정적 해에 가까이 머무른다.
• 동일한 조건 하에서 $T \to \infty$ 로 갈수록 해는 에르고딕 정적 해로 수렴한다.
• 무한 수명 주기 문제에서 할인율이 0으로 수렴하는 극한은 비단조화성 조건이 없더라도 에르고딕 해로 수렴한다.
• 결과는 전역 리프시츠 해밀토니안과 약한 성장 조건을 갖는 이차형 해밀토니안 모두에 대해 유효하다.
• 분석은 자가 일관되며 마스터 방정식이나 선형화된 시스템을 사용하지 않는다.