[논문 리뷰] Long time dynamics and disorder-induced traveling waves in the stochastic Kuramoto model

Éric Luçon, Christophe Poquet|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 03.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 39인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 고착된 불순물이 있는 스토하스틱 Kuramoto 모델에서 장시간 동역학을 조사하며, √N 주기의 시간 척도에서 고착된 주파수의 불순물에 의해 유도된 진행파가 동기화된 정적 다각형의 다각형에 따라 경험 측도에 나타남을 보여준다. 주요 결과는 불순물의 변동성이 열 노이즈를 지배하여, 주파수 분포의 비대칭성에 따라 속도와 방향이 결정되는 지속적인 회전을 유도한다는 것이다.

ABSTRACT

The aim of the paper is to address the long time behavior of the Kuramoto model of mean-field coupled phase rotators, subject to white noise and quenched frequencies. We analyse the influence of the fluctuations of both thermal noise and frequencies (seen as a disorder) on a large but finite population of $N$ rotators, in the case where the law of the disorder is symmetric. On a finite time scale $[0, T]$, the system is known to be self-averaging: the empirical measure of the system converges as $N\ o \\infty$ to the deterministic solution of a nonlinear Fokker-Planck equation which exhibits a stable manifold of synchronized stationary profiles for large interaction. On longer time scales, competition between the finite-size effects of the noise and disorder makes the system deviate from this mean-field behavior. In the main result of the paper we show that on a time scale of order $ \\sqrt{N}$ the fluctuations of the disorder prevail over the fluctuations of the noise: we establish the existence of disorder-induced traveling waves for the empirical measure along the stationary manifold. This result is proved for fixed realizations of the disorder and emphasis is put on the influence of the asymmetry of these quenched frequencies on the direction and speed of rotation of the system. Asymptotics on the drift are provided in the limit of small disorder.

연구 동기 및 목표

• 유한하지만 큰 집단에서 열 노이즈와 고착된 주파수 불순물이 존재하는 Kuramoto 모델의 장시간 동역학을 분석하기 위해.
• 평균장 이론을 초월하여 시스템의 거시적 거동에서 유한성 크기의 변동성인 열 노이즈와 불순물 간의 경쟁을 해결하기 위해.
• 장시간 척도에서 불순물에 의해 유도된 진행파가 열 노이즈가 아닌 경험 측도에 나타남을 엄밀히 증명하기 위해.
• 고착된 주파수의 비대칭성이 시스템에서의 회전 속도와 방향에 어떻게 영향을 주는지 정량화하기 위해.
• 작은 불순물의 극한에서 진행파의 이탈 속도에 대한 점근적 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 상호작용, 노이즈, 고착된 주파수를 포함하는 SDE로 기술되는 N개의 위상 회전자로 구성된 스토하스틱 Kuramoto 모델을 분석한다.
• N → ∞일 때 시스템 거동을 기술하는 비선형 Fokker-Planck PDE를 도출하기 위해 평균장 근사를 사용한다.
• 큰 결합 강도 K에 대해 동기화된 정적 프로파일의 안정한 다각형을 식별한다.
• 시간 척도 분리 기법을 적용하여, √N 시간 척도에서 불순물 변동성이 열 노이즈를 초월하는 동역학을 연구한다.
• Fokker-Planck 연산자의 스펙트럼 분석과 섭동 이론을 사용하여 정적 다각형 상에서의 효과적 동역학을 유도한다.
• 투영 기법과 푸리에 모드 전개를 사용하여 불순물 존재 하에서 경험 측도의 이탈을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 크기의 Kuramoto 시스템에서 장시간 거동을 결정하는 데 불순물과 열 노이즈는 어떻게 경쟁하는가?
• RQ2 경험 측도에서 불순물에 의해 유도된 변동성이 열 노이즈를 초월하는 데 필요한 시간 척도는 무엇인가?
• RQ3 외부 힘이 없더라도 불순물 자체가 경험 측도에서 진행파를 유도할 수 있는가?
• RQ4 고착된 주파수 분포의 비대칭성은 유도된 진행파의 방향과 속도에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 약한 불순물의 극한에서 진행파의 이탈 속도의 점근적 행동은 무엇인가?

주요 결과

• √N 주기의 시간 척도에서 고착된 불순물의 변동성이 열 노이즈를 초월하여 경험 측도의 지속적인 이탈을 유도한다.
• 불순물에 의해 유도된 진행파는 동기화된 정적 프로파일의 안정한 다각형을 따라 나타나며, 파동의 속도와 방향은 주파수 분포의 비대칭성에 의해 결정된다.
• 진행파의 이탈은 주파수 불순물의 일阶 모멘트에 점근적으로 비례하며, 작은 불순물 근사에서 주요 항을 유도하였다.
• 시스템은 평균장 근사에서는 정적이지만, 경험 측도가 불순물에 의해 균일하게 회전하는 비정상적인 장시간 동역학을 나타낸다.
• Balmforth와 Sassi(2002)의 수치적 관측을 엄밀히 정당화한다: 불순물에 의해 유도된 회전 현상.
• 불순물에 의해 유도된 Fokker-Planck 연산자의 섭동은 투영된 동역학에서 비영인 이탈을 유도하며, 스펙트럼 및 함수 해석 기법으로 확인되었다.